1.2. Классификация игр

№	Признак	Класс игр
1.	Число игроков	а	Парные игры (два игрока)
		б	Множественные игры (три и более игрока)
		в	Игры с бесконечным числом игроков
2.	Количество стратегий	а	Конечные игры (конечное число стратегий у каждого игрока)
		б	Бесконечные игры (бесконечное число стратегий у каждого игрока)
3	Свойства функции выигрыша	а	Игры с нулевой суммой или антагонистические игры (выигрыш одного игрока равен проигрышу другого)
		б	Игры с постоянной разностью (игроки выигрывают и проигрывают одновременно и им выгодно согласовывать свои действия)
		в	Игры с ненулевой суммой (возможны и конфликты и согласованные действия)
4	Возможность ведения переговоров	а	Кооперативные (коалиционные) (игроки могут договариваться о совместных стратегиях)
		б	Некооперативные игры (игроки не имеют возможности договариваться)
5	Характер действий игроков	а	Позиционные игры (игроки совершают действия последовательно, друг за другом)
		б	Непозиционные игры (игроки действуют одновременно)

Упражнение. Приведите примеры игр каждого класса.

§ 2. Матричные игры

2.1. Формальное педставление игр для случая двух игроков

Определение 1. Игра, в которой участвуют два игрока, называется парной игрой.

Пусть в игре участвуют два игрока А и В. Каждый из игроков располагает конечным числом чистых стратегий. Обозначим их соответственно:

– стратегии первого игрока,

– стратегии второго игрока.

Игрок А может выбрать любую чистую стратегию, , в ответ на которую игрок В может выбрать любую свою чистую стратегию , .

Если игра состоит только из личных ходов, то выбор пары стратегий однозначно определяет результат – выигрыш игрока А. При этом проигрыш игрока В составит (выигрыш игрока В равен ). Если известны значения для каждой пары чистых стратегий, то можно составить матрицу выигрышей игрока А (проигрышей игрока В):

Определение 2. Прямоугольная матрица размерности , где (число строк) число чистых стратегий первого игрока, а – (число столбцов) число стратегий второго игрока, а в клетках указаны выигрыши игроков для каждой ситуации, называется платёжной матрицей игры (матрицей выигрышей, матрицей платежей) первого игрока.

Замечание 1. Платёжная матрица второго игрока: .

Замечание 2. Для наглядности матрицы выигрышей обоих игроков объединяют в матрицу, элементами которой являются упорядоченные пары, состоящие из выигрыша первого и проигрыша второго игрока при данной стратегии:

Такую матрицу называют биматрицей игры.

Пример 2.1 (парная конечная игра с нулевой суммой (антагонистическая парная игра)) [11]. Два игрока независимо друг от друга записывают любое целое число. Если выписанные числа имеют одинаковую чётность, то игрок А получает от игрока В 1 рубль, а если разную, то наоборот, игрок А платит игроку В 1 рубль. Требуется составить платёжную матрицу игры.

Решение. Игрок А имеет 2 стратегии:

Игрок В также имеет 2 стратегии:

Выбор игроками соответствующих стратегий и однозначно определяет исход игры: - выигрыш игрока А. Стратегиям и соответствует выигрыш игрока А, равный 1 рубль, а стратегиям и соответствует проигрыш игрока, равный 1 рубль (выигрыш, равный –1 рубль). Тогда платёжные матрицы будут иметь вид:

Пример 2.2 (парная конечная игра с ненулевой суммой) [1]. Две фирмы функционируют на рынке одновременно с одинаковым товарным объёмом Q. У обеих фирм по соображениям рентабельности есть следующие стратегии: либо вбросить на рынок полный объём товара Q, либо выбросить на рынок половину объёма 0,5Q. Если первая фирма выбрасывает на рынок полный объём товара, а вторая – половину объёма, то первая фирма получает 100% запланированной прибыли, а вторая – только 25%, и наоборот. Если обе фирмы выбрасывают на рынок по полному объёму прибыли, то получат по 15 % прибыли; если по половине объёма, то прибыль каждой из фирм составит по 50% от запланированной.

Решение. Примем долю прибыли (в %) от запланированной за значение выигрыша при каждой стратегии, тогда возможны следующие ситуации:

Запишем матрицы выигрышей обеих фирм и биматрицу игры:

Пример 2.3 (парная бесконечная игра) [1]. Две конкурирующие фирмы борются за рынки сбыта, других конкурентов в этом сегменте нет (дуополия). В этом случае каждый из игроков может назвать цену p, по которой он хочет продать определённое количество товара. При этом полагается, что потребители приобретут товар у фирмы, объявившей меньшую цену. В случае объявления одинаковой цены спрос распределяется между фирмами поровну.

Решение. Каждый из игроков обладает бесконечным числом стратегий. Функция выигрышей игроков характеризует величины дохода фирм в зависимости от объявленных цен. Так как доход фирмы , то функцию выигрышей игроков можно представить в виде:

Определение 3. Игры двух игроков, функции выигрышей которых можно представить в виде матриц, называются матричными.

Замечание. Матричные игры являются наиболее разработанным направлением теории игр.