ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Рязанский государственный университет имени С.А. Есенина»

Кафедра математического анализа

Экономико-математические методы элементы теории игр рабочая тетрадь № 2

студента_______________________________________________

факультета___________ отделения ___________группы________

Специальность 080107 «Налоги и налогообложение»

Составитель: Е.Ю. Лискина, канд. физ.-мат. наук, доцент

Рязань 2007

Тема 6. Элементы теории игр § 1. Игровые модели и их классификация

1.1. Основные определения

Определение 1. Конфликтной ситуацией (конфликтом) будем называть явление или ситуацию, в которой участвуют две или более стороны, имеющие различные интересы и обладающие возможностями применять для достижения своих целей разнообразные действия.

Определение 2. Упрощённая формализованная модель конфликтной ситуации называется игрой.

Замечание. От реального конфликта игра отличается наличием правил игры.

Теория игр – раздел прикладной математики, занимающийся построением математических моделей возможных конфликтных ситуаций и разработкой методов решения возникающих в этих ситуациях задач.

Определение 3. Заинтересованные стороны конфликта называются игроками.

Определение 4. Каждое действие игрока в рамках правил игры и в зависимости от ситуации, сложившейся в процессе игры называется ходом или стратегией игрока.

Определение 5. Число, выражающее степень удовлетворения интересов игрока в данной ситуации, называется выигрышем игрока.

Определение 6. Зависимость величины выигрыша игрока от всевозможных стратегий называется функций выигрыша (платёжной функцией).

Определение 7. Значение функции выигрыша называется исходом игры.

Замечание. В теории игр предполагается, что функции выигрыша и множество доступных для каждого игрока стратегий известны, то есть каждый игрок знает как свои функции выигрыша и набор имеющихся в его распоряжении стратегий, так и функции выигрыша и стратегии остальных игроков. В соответствии с этой информацией он и организует своё поведение, то есть определяет выбор своей стратегии. Суть игры заключается в том, что каждый из игроков принимает такие решения, которые, как он полагает, могут обеспечить ему наилучший результат (исход).

Определение 8. Стратегия называется оптимальной, если она при многократном повторении обеспечивает данному игроку максимально возможный средний выигрыш.

Основные направления изучения теории игр:

1) выработка принципов оптимальности – критериев, по которым поведение игроком следует считать оптимальным;

2) выяснение реализуемости принципов оптимальности – установлению оптимальных в выработанном смысле ситуаций, отысканию их реализаций.

Определение 9. Игровая ситуация называется равновесной (равновесием), если в её нарушении не заинтересован ни один из игроков.

Замечание. Равновесие является одной из форм представления об оптимальности в игре, так как в равновесной ситуации каждый игрок получает наибольший выигрыш.

Определение 10. Если в игре существуют стратегии, приводящие к равновесной ситуации, то такие стратегии называют чистыми.

Определение 11. Если в игре не существует стратегий, приводящих к равновесной ситуации, но существуют комбинации исходных стратегий, приводящие к равновесию, то такие комбинации называют смешанными стратегиями.

Замечание. Часто смешанную стратегию представляют как случайный выбор игроками чистых стратегий, при котором случайные выборы различных игроков независимы в совокупности, а выигрыш каждого из них определяется как математическое ожидание случайного выигрыша.

Определение 12. Игра, в которой не существует равновесия, достигаемого чистыми стратегиями, но достигаемого смешанными стратегиями, называется смешанным расширением исходной игры.