Лекция 2 Модификации векторов и точек

Модификациями будем называть изменения положения и формы геометри­ческих объектов. Многие линии, поверхности и тела описываются определен­ным образом связаны набором точек, векторов и скаляров. При изменении положении геометрического объекта в пространстве требуется выполнять соот­ветствующие модификации радиус-векторов точек и векторов, описывающих данный объект.

Сдвиг точки в пространстве. Простейшей модификацией точки является ее сдвиг в пространстве на вектор сдвиги t. Положение точки до модификации будем называть исходным и описывать радиус-вектором r₀, положение точки после модификации будем называть новым и описывать радиус-вектором r. По­ложение точки после модификации будет описываться радиус-вектором, равным сумме радиус-вектора ее исходного положения r₀ и вектора сдвига t:

(20)

Компоненты вектора r равны сумме соответствующих компонент векторов r₀ и t.

Поворот точки в пространстве вокруг оси. Рассмотрим, как изменится радиус-вектор точки при ее повороте вокруг некоторой оси. Пусть начальное положении точки описывается радиус-вектором r₀, а ось вращения определяется

Рис. 4. Поворот точки вокруг оси

точной Q и ортом v. Пусть q есть радиус-вектор точки Q. Выполним поворот точки вокруг оси на угол α против часовой стрелки, если взгляд направить навстречу вектору v (рис. 4).

Построим вектор р = r₀ — q. Разложим вектор р на две составляющие:

(21)

где вектор t параллелен вектору v, а вектор n ортогонален вектору v. При вращении вектор t не изменится, а вектор n повернется на угол α в сторону вектора

(22)

Так как вектор v имеет единичную длину, то вектор b будет иметь длину, равную длине вектора n. Кроме того, он ортогонален векторам v и n. После поворота на угол α вектор n станет равным вектору ncosα + bsinα. Следовательно, после поворота рассматриваемая точка будет определяться радиус-вектором

(23)

где p = r₀ - q. Преобразуем выражение

(24)

С учетом (24) выражение (23) примет вид

(25)

Матрица поворота определяется равенством

где

Матрица А является ортогональной. При транспонировании матрицы А изменится только знак перед последним ее слагаемым, что соответствует повороту точки на угол - α.

Симметрия точки относительно плоскости. Определим координаты точки r, симметричной точки r₀ относительно плоскости. Пусть плоскость симметрии определяется точкой Q и двумя ортами u и v (рис. 5).

Пусть q есть радиус-вектор точки Q. Построим вектор р = r₀ — q и представим его в виде суммы трех векторов — проекции на орт u, проекции на орт v и перпендикулярной плоскости составляющей n:

(26)

где n = р — (р • u)u + (р • v)v. После зеркального отражения вектора р его нормальная к плоскости составляющая изменит знак на противоположный.

Рис. 5. Симметрия точки относительно плоскости

Положение симметричной точки будет описываться радиус-вектором

(27)

где матрица А = 2uu + 2vv — E — матрица симметрии, uu и vv — диадные произведения векторов.

Масштабирование в пространстве. Рассмотрим масштабирование проек­ций на координатные оси расстояния до точки r₀ относительно некоторой дру­гой точки Q, остающейся неподвижной после масштабирования. Пусть q есть радиус-вектор точки Q. В общем случае при масштабировании проекции на ко­ординатные оси вектора р = r₀ — q могут изменяться в различное число раз, т. е. масштабирование может быть ортотропным. Пусть проекция вектора р на орт e₁ при масштабировании увеличивается в m₁ раз, проекция вектора р на орт e₂ увеличивается в m₂ раз, проекция вектора р на орт е₃ увеличивается в m₃ раз. Тогда положение рассматриваемой точки после модификации будет описываться радиус-вектором

(28)

где А — матрица масштабирования.

Модификация векторов в пространстве. Формулы модификации свободного вектора в пространстве получим из формул модификации радиус-вектора, по­ложив в (20) t = 0, а в (25), (27), (28) — q = 0. Вектор в отли­чие от радиус-вектора не привязан ни к какой точке пространства и поэтому модификации вектора можно выполнить в местной системе координат, начало которой находится в точке Q, а координатные оси параллельны исходным ко­ординатным осям. После переноса начала местной системы координат в точку Q ее радиус-вектор будет равен нулю. Этим отличаются модификации вектора и радиус-вектора.

Сдвиг двухмерной точки. Рассмотрим модификации двухмерных точек. Век­торная формула сдвига двухмерной точки на вектор t совпадает с (20)

(29)

Поворот двухмерной точки вокруг точки. Повороты двухмерной точки выпол­няются вокруг оси, перпендикулярной плоскости, в которой лежит точка. Пусть начальное положение точки описывается радиус-вектором r₀, а неподвижная

O - Центр вращения

Рис. 6. Вращение двухмерной точки

точка Q имеет радиус-вектор q. Выполним поворот точки в плоскости на угол α против часовой стрелки, если взгляд направить на плоскость (рис. 6).

Построим вектор р = r₀ — q и вектор b, который имеет длину вектора р и повернут относительно него на прямой угол против часовой стрелки. Вектор b получен с помощью преобразования

(30)

где двухмерная матрица N имеет вид

(31)

После поворота на угол α вектор р станет равным вектору р cos α + b sin α. Следовательно, после поворота рассматриваемая точка будет определяться радиус-вектором

(32)

где A = cosαE – sinα N — матрица поворота. Матрица А является ортогональной. При транспонировании матрицы А изменится только знак перед послед­ним ее слагаемым, что соответствует повороту точки на угол —α.

Симметрия двухмерной точки относительно линии. Определим координаты точки r, симметричной точки r₀ относительно линии. Пусть линия симметрии определяется точкой Q и ортом v (рис. 7).

Рис. 7. Симметрия точки относительно линии

Пусть q есть радиус-вектор точки Q. Построим вектор р = r₂ — q и представим его в виде суммы двух векторов — проекции на орт v и перпендикулярной ему составляющей n:

(33)

где n = р — (р • v)v. Преобразуем выражение

(34)

где — диадное произведение векторов. После зеркального отражения вектора р его нормальная к линии составляющая изменит знак на противоположный. Положение симметричной точки будет описываться радиус-вектором

(35)

где матрица А = 2vv - Е — матрица симметрии.

Масштабирование в двухмерном пространстве. Пусть задана неподвижная, точка q и требуется масштабировать относительно нее положения других точек. Положение точки с радиус-вектором r₀ после масштабирования по коор­динатным осям относительно неподвижной точки q будет описываться радиус-вектором

(36)

где p₁ и р₂ - компоненты вектора р = r₀ — q, m₁ — коэффициент увеличения компоненты p₁, m₂ — коэффициент увеличения компоненты р₂.

Модификация двухмерных векторов. Модификации свободного двухмерного вектора получим из модификаций радиус-вектора, положив в (29) t = 0, а в (33), (35), (36) — q = 0. Вектор в отличие от радиус-вектора не привязан ни к какой точке двухмерного пространства и поэтому модификации вектора можно выполнить в местной системе координат, начало которой нахо­дится в точке Q, а координатные оси параллельны исходным координатным осям. Этим отличаются модификации вектора и радиус-вектора.