3. 3. Краткие сведения из теории и примеры решения задач.

На практике часто приходится иметь дело с функциями, заданными таблично, когда для значений аргумента x₁, x₂,…, x_n известны значения функции y₁=f(x₁), y₂=f(x₂),…, y_n=f(x_n). Совокупность точек называется экспериментом :

x₁ x₂ x₃ … x_n 



y₁ y₂ y₃ … y_n 

где n - число экспериментальных точек.

Для того, чтобы определить значение функции f в какой-либо точке х, отличной от заданных x₁, x₂, x₃, …, x_n, поступают следующим образом : строят функцию F, которая в заданных точках x₁, x₂, x₃, …, x_n совпадает с заданными y₁, y₂, y₃, …, y_n, т.е. F(x_i) = y_i , i = 1, 2, 3, …, n, а при остальных х приближенно представляет функцию f. При этом функция F называется интарполирующей, а точки x₁, x₂, x₃, …, x_n- узлами интерполяции.

Чаще всего функцию F(x) задают в ввиде многочлена. Существвует только один интерполяциооный многочлен, который может быть представлен в различной форме.

1. Форма Лагранжа.

Интерполяциооный многочлен Лагранжа, построенный по таблице (x_1, y₁); (x_2, y₂); (x_3, y₃);… (x_n, y_n), имеет вид

_{n n} (x-x_j)

F_n-1(x)= y_i П --------. (1)

^{i=1 j=1} (x_i-x_j)

^{i  j}

2. Линейная интерполяция.

Пусть задана таблица (x_1, y₁); (x_2, y₂); (x_3, y₃);… (x_N, y_N), x_i - различны.

Необходимо вычислить y в () x:

x - x_i2 x - x_i1

F¹= y_i1 -------- + y_i2 ------- ;

x_i1 - x_i2 x_i2 - x_i1

(x - x_i1)

y = y_i1 + ( y_i2 - y_i1) ----------- ;

(x_i2 - x_i1)

x_i1, x_i2 - ближайшие к х из набора x₁, x₂, x₃, …, x_N.

Линейное интерполирование осуществляется по двум ближайшим точкам.

Пример. 1. х [ x₁, x₂ ].

Тогда

x_i1 = x₁ ; y_i1 = y₁, x_i2 = x₂ ; y_i2 = y₂,

(x - x₁)

y = y₁ + ( y₂ - y₁) ----------- ;

(x₂ - x₁)

2. х [ x₄, x₅ ],

x_i1 = x₄ ; y_i1 = y₄, x_i2 = x₅ ; y_i2 = y₅,

(x - x₄)

y = y₄ + ( y₅ - y₄) ----------- ;

(x₅ - x₄)

(рис. 12).

Рис. 12

На рисунке 13 представлена блок-схема алгоритма расчета интерполяционого значения функции в ()x по двум ближайшим узловым точкам, координаты которых являются исходными данными.

Основные обозначения :

x0 - значение х, при котором вычисляется интерполяционное значение у ;

у0 - интерполяциооное значение в точке х0 ;

L - код ощибки ;

 0, если x_i1  x_i2

L = 

 1, если x_i1 = x_i2 ;

x(1), x(2) - табличные значения аргументов ;

у(1), у(2) - табличные значения функции.

Рис. 13

На рисунке 14 представлена блок-схема алгоритма расчета интерполяционного значения функции в любой точке х с выбором ближайших узлов точек, по которым будет производиться интерполирование. Исходными данными являются координаты всех экспериментальных точек и значение х , при котором необходимо вычислить интерполяционое значение функции.