4.5 Ієрархія граматик Хомського

Дослідження будь-якого класу предметів, як правило, починається з їх класифікації. Це методологічне зауваження стосується і граматик. Однією з перших була класифікація, запропонована Н. Хомським. Суть цієї класифікації полягає в поступових обмеженнях, що накладаються на праві та ліві частини продукцій. Визначені Хомським чотири типи граматик виявились інваріантними відносно різних уточнень породжуючих граматик. Крім того, цим типам граматик природнім чином відповідають типи автоматів, що розпізнають (сприймають) формальні мови.

Визначення 4.20

• Граматиками типу 0 називають довільні породжуючі граматики загального виду, що не мають жодних обмежень на правила виводу.

• Граматиками типу 1 (нескорочуючими граматиками) називають породжуючі граматики, кожне правило яких має вигляд α→β, де |α||β| (α(NT)*N(NT)*, β(NT)⁺).

• Граматиками типу 2 (контекстно-вільними граматиками, КВ-граматиками) називають породжуючі граматики, кожне правило яких має вигляд A→β, де AN, β(NT)*.

• Граматиками типу 3 (праволінійними граматиками) називають породжуючі граматики, кожне правило яких має вигляд A®αB або A®α, де A, BÎN, αÎTÈ{}. До граматик типу 3 відносять і ліволінійні граматики, кожне правило яких має вигляд A®Bα або A®α, де A, BÎN, αÎTÈ{}.

Приклад 4.12 Граматика G3 з попереднього підрозділу є граматикою типу 0. Якщо з цієї граматики видалити правило P2, вона стане граматикою типу 1, бо не буде скорочуючих правил. Граматика з правилами {S®AR, R®bRc, R®, A®aA, A®} є конктекстно вільною граматикою (типу 2), а її підграматика {A®aA, A®} є праволінійною граматикою (типу 3).

Кожному типу граматик відповідають мови, яким будемо приписувати той же тип, що має граматика, яка її породжує.

Малюнок 4.3. Співвідношення типів граматик

Малюнок 4.3 демонструє співвідношення типів граматик. Як бачимо, граматики типів 2 та 3 не є підкласами граматик типу 1. Це викликано тим, що наведені класи граматик мають скорочуючі правила виду A®, які заборонені в граматиках типу 1. Як буде показано далі, ці відмінності не дуже позначаються на класах мов, породжуваних граматиками типів 2 та 3, і якщо ігнорувати порожній ланцюжок, то класи мов типів 3 та 2 будуть підкласами мов типу 1.

Перш ніж переходити до вивчення класів мов, покажемо, що без втрати виразної сили можна розглядати більш обмежений клас граматик, які називаються загально-конктестними граматиками. Цей клас видається більш природним для породження, ніж загальні породжуючі граматики.

Визначення 4.21

• Загально-контекстними називають породжуючі граматики, кожне правило яких має вигляд ₁A₂→₁β₂, де AN, ₁, ₂, β(NT)*. Ланцюжки ₁ і ₂ називають лівим та правим контекстом символу A у вказаному правилі.

• Контекстно-залежними називаються загально-конктестні граматики з нескорочуючими правилами, тобто правила мають вид ₁A₂→₁β₂ , де β(NT)⁺ (це означає, що|β|1).

Контекстно-залежні граматики інколи називають граматиками безпосередньо складових (БС-граматиками). Ця назва пояснюється тим, що граматики цього класу співставляють породжуваним ними ланцюжкам системи (безпосередньо) складових, бо породження іде з одного нетерміналу, а конктекст при застосуванні правила не змінюється.

Слід сказати, що назва контекстно-залежних граматик не зовсім вдала, бо не підкреслює нескорочуваність правил граматики, а характеризує скоріш довільний клас конктекстних граматик. Це ж стосується і назви граматик безпосередньо складових.

Граматики типів 2 та 3 (будучи безконтекстними) безпосередньо є підкласами загально-контекстних граматик.

З визначень видно, що класи загально-контекстних та контекстно-залежних граматик є власними підкласами відповідно граматик типів 0 та 1. Разом з тим, відповідні класи мов співпадають, тобто використання лише конктекстних правил не обмежує породжувальну здатність граматик.

Доведемо цей факт співпадіння мов.

Нехай G₀=(N, T, P, S) – довільна породжуюча граматика типу 0. Побудуємо еквівалентну їй загально-контекстну граматику. Алгоритм побудови наступний.

1. Виділяємо термінальні символи, які входять до неконтекстних правил та вводимо нетермінали, які дублюють такі термінальні символи, тобто вводимо нові нетермінали N_a для кожного такого термінального символу aÎT.

2. Далі всі неконтекстні правила з P замінюємо на нові правила, в котрих замість термінальних символів стоять їх нетермінальні дублери. Добавляємо нові правила N_aa. Очевидно, що отримана граматика G еквівалентна початковій.

3. Побудуємо граматику G, яка буде контекстною та еквівалентною G. Спочатку пронумеруємо усі неконтекстні правила граматики G (контекстні не змінюємо). Розглянемо неконтекстне правило G з номером k виду , де  = A₁A₂…A_n-1A_n, n>1. Це правило замінимо на наступну множину нових правил:

A₁A₂…A_n-1A_n N_klA₂…A_n-1A_n

N_klA₂…A_n-1A_n N_klA₂…A_n-1N_kr

N_klA₂…A_n-1 N_kr  N_klA₃…A_n-1N_kr

N_klA3…A_n-1 N_kr  N_klA4…A_n-1N_kr

… … …

N_klA_n-1N_kr  N_klN_kr

N_klN_kr  N_kpN_kr

N_kpN_kr  N_kp

N_kp.

(Коментар. Ідея побудови наведених правил полягає у наступному: спочатку виставляємо лівий N_kl та правий маркери N_kr вибраного правила, далі видаляємо всі інші символи лівої частини продукції, потім переходимо до породження правої частини, але перед цим вносимо про це інформацію за допомогою N_kp. Наприкінці породжуємо в контексті N_kp праву частину продукції, а сам символ N_kp видаляємо.)

Можна довести, що вказана послідовність правил еквівалентна одному початковому правилу. Дійсно, ця послідовність індукує (майже детерміновано) однозначний вивід. Тільки правило N_kp порушує однозначність. Але якщо його застосувати до правила N_kpN_krN_kp, то не буде можливості позбавитись нетермінала N_kr. Тому справедлива наступна теорема.

Теорема 4.2 Для довільної породжуючої граматики G₀ існує граматика G_C у загально-контекстній формі, яка породжує ту саму мову, тобто L(G₀)=L(G_C).

Визначення 4.22 Довільні граматики G₁ та G₂ називаються еквівалентними, якщо вони породжують одну й ту саму мову, тобто G₁  G₂  L(G₁)=L(G₂).

Цілком очевидно, що так введенне відношення  є відношенням еквівалентності (рефлексивним, симетричним та транзитивним відношенням).

Приклад 4.13 Побудуємо за граматикою G3, що породжує мову L(G3)={aⁿbⁿcⁿ|n0} еквівалентну їх загально-контекстну граматику G3_C.

Граматика G3 має наступні правила:

P1: S  aBSc

P2: S  

P3: Ba  aB

P4: Bb  bB

P5: Bc  bc

З них неконтекстними є правила P3 та P4. Спочатку перетворемо правило BaaB (правило P3) в послідовність контекстних правил. Отримуємо:

BaaB замінуємо на BA_aA_aB, A_aa.

Далі замість BA_aA_aB вводимо послідовність правил

BA_aN₃₁A_a

N₃₁A_a N₃₁N_3r

N₃₁N_3rN_3pN_3r

N_3pN_3rN_3pA_aB

N_3p

Аналогічно поступаємо з правилом P4: Bb  bB. Після цих перетворень отримуємо нову граматику G3_C, в якій пронумеруємо нові правила:

P1: S  A_aBSc,

P2: S  

P31: A_aa

P32: BA_aN_3lA_a

P33: N_3lA_a N_3lN_3r

P34: N_3lN_3rN_3pN_3r

P35: N_3pN_3rN_3pA_aB

P36: N_3p

P41: B_b  b

P42: BB_bN_4lB_b

P43: N_4lB_b N_4lN_4r

P44: N_4lN_4rN_4pN_4r

P45: N_4pN_4rN_4pB_bB

P46: N_4p

P5: Bc  B_bc

Побудуємо декілька виводів в цій граматиці, тобто, говорячи в термінах програмування, зробимо «тестування» побудованої граматики.

Очевидно, що S та SA_aBScA_aBcA_aB_bcaB_bcabc. Побудуємо вивід ланцюжка a²b²c². Маємо,

S A_aBSc A_aBA_aBScc A_aBA_aBcc A_aBA_aB_bcc A_a N_3lA_aB_bcc

A_a N_3lN_3rB_bcc A_a N_3pN_3rB_bcc A_a N_3p A_aBB_bcc A_aA_aBB_bcc A_aA_aN_4lB_bccA_aA_aN_4lN_4rccA_aA_aN_4pN_4rcc A_aA_aN_4pB_bBcc A_aA_aB_bBcc A_aA_aB_bB_bcc A_aA_aB_bbcc A_aA_abbcc A_aabbcc aabbcc.

Еквівалентність нескорочуючих та контекстно-залежних граматик доводиться аналогічним чином.

Це дозволяє нам говорити про те, що різні варіанти визначень граматик (породжуючі та конктекстні) є еквівалентними, і що ієрархія Хомского досить стабільна відносно варіантів граматик.

Перейдемо до дослідження зв’язків класів породжуючих граматик з класами формалізмів розпізнання (сприйняття), в першу чергу, с класами автоматів різного типу.