Системы счисления.

Число — это некоторая абстрактная сущность для описания количества (абстрактная мера количества).

Код числа — запись числа в некоторой системе счисления.

Цифры — это знаки, используемые для записи чисел (арабские цифры, римские цифры).

Система счисления — совокупность приемов и правил для записи чисел цифровыми знаками:

• непозиционные системы счисления - это такие системы, в которых значение цифры не зависит от ее положения в числе (римская система счисления).

Для записи целых чисел в римской нумерации используются семь основных чисел:

• I = 1

• V = 5

• X = 10

• L = 50

• C = 100

• D = 500

• M = 1000

Соответствие чисел римской и десятичной систем счисления.

Десятичная	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	20	30	40	50	100	500	1000
Римская	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII	IX	X	XX	XXX	XL	L	C	D	M

Примеры перевода из римской в десятичную систему счисления:

IV = 5 – 1 = 4

XI = 10 + 1 = 11

XL = 50 – 10 = 40

XC = 100 – 10 = 90

CM = 1000 – 100 = 900

XCIV=100-10+5-1=94

CCLXXXIII=100+100+50+30+3=283

CDLXVI = 500 – 100 + 50 + 10 + 5 + 1 = 466

• позиционные системы счисления - это системы счисления, в которых значение цифры зависит от её положения в числе (десятичная, двоичная (бинарная), восьмеричная, шестнадцатеричная системы счисления).

Любая позиционная система характеризуется её основанием.

Основание системы счисления — это количество различных цифр (знаков, символов), используемых для изображения цифр в данной системе.

Наименование системы счисления	Используемые цифры	Количество используемых знаков	Основание системы
Двоичная	0, 1	2	2
Восьмеричная	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	8	8
Десятичная	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	10	10
Шестнадцатеричная	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, E, F	16	16

Соответствие чисел записанных в различных системах счисления

Десятичная	Шестнадцатеричная	Восьмеричная	Двоичная
0	0	0	0
1	1	1	1
2	2	2	10
3	3	3	11
4	4	4	100
5	5	5	101
6	6	6	110
7	7	7	111
8	8	10	1000
9	9	11	1001
10	A	12	1010
11	B	13	1011
12	C	14	1100
13	D	15	1101
14	E	16	1110
15	F	17	1111
16	10	20	10000
17	11	21	10001
18	12	22	10010
19	13	23	10011
20	14	24	10100

За основание системы можно принять любое натуральное число — два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д.

Разряд– это место, занимаемое цифрой при записи числа.

Любое целое число в позиционной системе с основанием q можно записать в форме многочлена:

a_n-1 q^n-1 + a_n-2 q^n-2 + ... + a₁ q¹ + a₀ q⁰ + a_-1 q^-1 + ... + a_-m q^-m,

где a_i — цифры системы счисления; n и m — число целых и дробных разрядов, соответственно.

Например:

В десятичной системе счисления число 8027,614 означает выражение:

Разряд 3210,-1-2-3

Число 8027,614₁₀ = 8*10³+0*10²+2*10¹+7*10⁰+6*10^-1+1*10^-2+4*10^-3

В двоичной системе счисления число 1001,11 означает выражение

Разряд 3210,-1-2-3

Число 1001,011₂ = 1*2³+0*2²+0*2¹+1*2⁰+0*2^-1+1*2^-2+1*2^-3

В шестнадцатеричной системе счисления число 1001,11 означает выражение

Разряд 3210,-1-2-3

Число 1001,011₁₆ = 1*16³+0*16²+0*16¹+1*16⁰+0*16^-1+1*16^-2+1*16^-3

В позиционной системе счисления цифры упорядочены в соответствии с их значениями: 1 больше 0, 2 больше 1 и так далее.

Продвижением цифры называют её замену следующей по величине цифрой.

Продвинуть цифру 1 значит заменить её на 2, продвинуть цифру 2 значит заменить её на 3. Продвижение старшей цифры в десятичной системе (это цифра 9) означает замену её на 0.

В двоичной системе, использующей только две цифры — 0 и 1, продвижение 0 означает замену его на 1, а продвижение 1 — замену её на 0.

Целые числа в любой системе счисления формируются с помощью правила счета:

Для образования целого числа, следующего за любым данным целым числом, нужно продвинуть крайнюю правую цифру числа, при этом если какая-либо цифра после продвижения стала нулем, то нужно также продвинуть цифру, стоящую слева от неё. Если цифры слева нет, вместо нее ставится ноль и продвигается.

Перевод чисел из одной системы счисления в другую.

Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему

Необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) при переводе из восьмеричной или тетрадой (четверкой цифр) при переводе из шестнадцатеричной системы счисления.

Например:

Перевод двоичных чисел в в восьмеричную или шестнадцатеричную систему

Необходимо разбить влево и вправо от запятой на триады (для восьмеричной) или тетрады (для шестнадцатеричной) и каждую такую группу заменить соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой.

Например:

Перевод из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную и обратно.

При переходе из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную и обратно, необходим промежуточный перевод чисел в двоичную систему.