Разность потенциалов

Для потенциальных полей можно ввести понятия потенциала и разности потенциалов.

Разность потенциалов φ₁-φ₂ между точками 1 и 2 численно равна работе, совершаемой силами поля при перемещении единичного положительного заряда по произвольному пути из точки 1 в точку 2.

Работа сил электростатического поля при перемещении заряда q₀ из точки 1 в точку 2

A12 = q0 (φ1-φ2)

(5.17)

Потенциал данной точки поля численно равен работе сил электростатического поля по перемещению единичного положительного заряда из данной точки в бесконечность.

В системе СИ: φ (В)

Потенциал – это скаляр, имеющий знак плюс или минус.

Сравнивая выражения (5.15) и (5.17), получаем

Отсюда находим выражение потенциала поля точечного заряда q в вакууме

(5.18)

Принцип суперпозиции: потенциал электростатического поля, создаваемого системой зарядов равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из этих зарядов в отдельности

(5.19)

Потенциальная энергия заряда q₀ в точке электростатического поля с потенциалом φ

WП = q0φ

(5.20)

Это значит, что потенциал – энергетическая характеристика электростатического поля.

Связь между напряжённостью электростатического поля и потенциалом

Работа сил поля по перемещению заряда q₀ на отрезке пути dl

(5.21)

где - проекция вектора на перемещение .

С другой стороны, эта работа будет равна убыли потенциальной энергии заряда. Из (5.20) получаем

(5.22)

Приравнивая правые части (5.21) и (5.22), находим

, отсюда

(5.23)

что означает: проекция вектора напряжённости электростатического поля на некоторое произвольное направление равно производной от потенциала по этому направлению с обратным знаком, где - быстрота изменения потенциала в данном направлении.

Обобщая (5.23), запишем

или

(5.24)

Формула (5.24) выражает связь напряжённости электростатического поля с потенциалом: напряжённость электростатического поля равна градиенту потенциала, взятого с обратным знаком. Знак минус означает, что напряжённость поля направлена в сторону убывания потенциала (рис. 5.18)

q Рис. 5.18

Таким образом, если известно значение потенциала φ в каждой точке поля, то можно найти напряжённость в каждой точке поля. Можно решить и обратную задачу, т.е. по заданным значениям Е в каждой точке найти разность потенциалов между двумя произвольными точками поля. Для этого из (5.21) с учётом (5.17) запишем

отсюда

(5.25)

Интеграл можно брать по любой линии, соединяющей точки 1 и 2, т.к. работа не зависит от формы пути.

Напряжённость и разность потенциалов для однородного электрического поля связаны соотношением

(5.27)

2 1 d 1I Рис. 5.19

Эквипотенциальная поверхность – это такая, все точки которой имеют одинаковый потенциал.

Силовые линии перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям, т.к. работа перемещения заряда вдоль эквипотенциальной поверхности равна нулю, и, следовательно, сила, действующая на заряд перпендикулярна его перемещению.

Эквипотенциальные поверхности (на рис. 5.20 и 5.21 – пунктирные линии) служат для графического изображения электростатического поля. Они проводятся так, чтобы разность потенциалов между соседними поверхностями была всюду одна и та же.

Рис. 5.20

Рис. 5.21

Таким образом, чем гуще располагаются эквипотенциальные поверхности, тем больше в данном месте grad φ и, следовательно, больше напряжённость . Для однородного поля эквипотенциальные поверхности – это параллельные плоскости.