Задание 5
Пример. Случайная величина X задана функцией распределения
Найти:
а) неизвестный параметр а;
б) плотность распределения f(x);
в) вероятность попадания случайной величины Х в интервал (0,25, 0,5);
г) математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
Решение. а) Найдем неизвестный параметр а, используя свойство непрерывности функции распределения непрерывной случайной величины. При х = 1 F(1) = а. Следовательно, a = 1. Тогда функция распределения будет иметь вид
б) Найдем плотность
распределения, исходя из ее определения
.
Тогда
в) Вероятность попадания в интервал найдем по формуле
,
.
г) Математическое ожидание непрерывной случайной величины найдем по формуле
,
где f(x) – плотность распределения. Так как все возможные значения случайной величины Х принадлежат интервалу (0; 1], то
.
Для вычисления дисперсии воспользуемся формулой
.
Найдем математическое
ожидание случайной величины
:
.
Тогда
.
Случайная величина X задана функцией распределения F(х).
В задачах 5.1. – 5.2. требуется определить:
а) неизвестный параметр А;
б) плотность распределения f(x);
в) вероятность попадания случайной величины Х в интервал (a,b);
г) математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
Задание 6
Пример. Случайная величина X задана функцией плотности распределения f(x).
Требуется определить:
а) неизвестный параметр А;
б) функцию распределения F(х);
в) вероятность попадания случайной величины Х в интервал (0, 1/4);
г) математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
Решение. а) Найдем постоянную нормировки А из условия, что
Так как все возможные
значения случайной величины Х
принадлежат
интервалу
,
то должно выполняться равенство
Отсюда
,
или
,
или
,
или
.
Таким образом, плотность распределения имеет вид
.
б) Для нахождения
функции распределения
воспользуемся формулой
.
-
Если
,
то
и, следовательно,
.
-
Если
,
то
.
-
Если
,
то
.
Итак, искомая функция распределения имеет вид
.
в) Вероятность попадания в интервал найдем по формуле
,
.
г) Математическое ожидание непрерывной случайной величины найдем по формуле
.
Так как все возможные
значения случайной величины Х
принадлежат
интервалу
и на этом интервале
,
то
.
Для вычисления дисперсии воспользуемся формулой
.
Найдем математическое
ожидание случайной величины
:
.
Тогда
.
Случайная величина X задана функцией плотности распределения f(x).
В задачах 6.1. – 6.30. требуется определить:
а) неизвестный параметр А;
б) функцию распределения F(х);
в) вероятность попадания случайной величины Х в интервал (a,b);
г) математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
