Задание 3

Пример. Производится 4 независимых выстрела по мишени с вероятностью попадания 0,6 при каждом выстреле. X – число попаданий в мишень. Для этой случайной величины: а) найти ряд и функцию распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение, вероятность попадания в мишень не менее двух раз.

Решение. а) Дискретная случайная величина X, представляющая собой число попаданий в мишень при 4 выстрелах, имеет следующие возможные значения: . Поскольку испытания независимы и при каждом испытании вероятность появления события А одна и та же, то для определения соответствующих вероятностей применима формула Бернулли

По условию задачи . Следовательно . Тогда

Составим ряд распределения случайной величины Х:

X	0	1	2	3	4
P	0,0123	0,0988	0,2963	0,3951	0,1975

Для контроля над правильностью вычисления вероятностей, найдем суму вероятностей, которая должна быть равна единице: .

Найдем функцию распределения случайной величины Х:

1. если , то , так как значений, меньших числа 0, величина Х не принимает;

2. если , то , так как величина Х может принять значение 0 с вероятностью 0,0123;

3. если , то , так как в этом случае величина Х может принять значение 0 или 1, и по теореме сложения вероятностей несовместных событий имеем

;

4. если , то

;

5. если , то

;

6. если , то , так как событие достоверное и вероятность его равна единице.

Итак, искомая функция распределения имеет вид

б) Математическое ожидание случайной величины Х найдем, исходя из его определения:

.

Дисперсию можно вычислить исходя из ее определения, но мы воспользуемся формулой, которая значительно упрощает вычисления

.

Найдем математическое ожидание случайной величины :

Тогда .

Найдем среднее квадратическое отклонение

.

Вероятность попадания в мишень не менее двух раз в серии из 4 выстрелов найдем следующим образом:

.

1. Производится 3 независимых выстрела по мишени с вероятностью попадания 2/3 при каждом выстреле. X – число попаданий в мишень. Для этой случайной величины: а) найти ряд и функцию распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение, вероятность хотя бы одного промаха.

2. Производится 3 выстрела по мишени. Вероятность попадания при первом, втором и третьем выстрелах соответственно равны 0,4; 0,5 и 0,7. X – число попаданий в мишень. Для этой случайной величины: а) найти ряд и функцию распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение, вероятность не менее трех попаданий в мишень.

3. В некотором цехе брак составляет 5% всех изделий. Х – число бракованных изделий из трех взятых на проверку. Для этой случайной величины: а) найти ряд и функцию распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение, вероятность того, что среди этих 3 изделий будет не менее 2 бракованных.

4. Производится 2 независимых выстрела с вероятностями попадания в цель соответственно 0,6 и 0,5. X – число попаданий в мишень. Для этой случайной величины: а) построить ряд и функцию распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение, вероятность поражения цели.

5. Станок штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется стандартной, равна 0,9. Х – число стандартных деталей среди четырех проверяемых. Для этой случайной величины: а) найти ряд и функцию распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение, вероятность того, что среди этих четырех деталей бракованных будет не менее трех.

6. Вероятность появления события А в одном испытании равна 2/3. X – число появлений события А в трех независимых испытаниях. Для этой случайной величины: а) найти ряд и функцию распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение, вероятность хотя бы двух появлений события А в трех испытаниях.

7. Производится 3 выстрела по мишени. Вероятности попадания при каждом выстреле равны 3/4. X – число попаданий в мишень. Для этой случайной величины: а) найти ряд и функцию распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение, вероятность двух попаданий в мишень.

8. Х – число выпадений шестерки при четырех подбрасываниях игральной кости. Для этой случайной величины: а) найти ряд и функцию распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение, вероятность невыпадения шестерки при четырех подбрасываниях кости.

9. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,8. X – число стандартных изделий среди четырех проверенных. Для этой случайной величины: а) найти ряд и функцию распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение, вероятность не менее трех бракованных изделий среди этих четырех.

10. Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что не будет выпущено ни одной бракованной детали, равна 0,98. Х – число стандартных деталей среди трех проверенных. Для этой случайной величины: а) найти ряд и функцию распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение, вероятность того, что среди этих трех деталей будет хотя бы две бракованных.

11. X – число выпадений решки при трех подбрасываниях монеты. Для этой случайной величины: а) найти ряд и функцию распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение, вероятность выпадения трех гербов.

12. Устройство состоит из четырех элементов. Вероятность того, что за время опыта любой из этих элементов откажет, равна 0,1. X – число отказавших элементов. Для этой случайной величины: а) найти ряд и функцию распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение, вероятность отказа не менее двух элементов.

13. Бросают три игральные кости. Тройка выпала Х раз. Для этой случайной величины: а) найти ряд и функцию распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение, вероятность выпадения двух троек.

14. Производится 5 независимых выстрелов с вероятностью попадания 0,2 при каждом выстреле. Х – число попаданий в мишень. Для этой случайной величины: а) найти ряд и функцию распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение, вероятность не менее 3 попаданий в мишень.

15. Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной, равна 0,1. Х – число бракованных деталей из трех взятых на проверку. Для этой случайной величины: а) найти ряд и функцию распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение, вероятность того, что среди этих 3 деталей будет не более одной бракованной.

16. Вероятность появления события А в одном испытании равна 1/3. Х – число появлений события А в четырех испытаниях. Для этой случайной величины: а) найти ряд и функцию распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение, вероятность появления события А хотя бы в двух испытаниях.

17. X – число выпадений герба при четырех подбрасываниях монеты. Для этой случайной величины: а) найти ряд и функцию распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение, вероятность выпадения трех гербов.

18. Производится 4 выстрела по мишени. Вероятности попадания при каждом выстреле равны 0,6. X – число попаданий в мишень. Для этой случайной величины: а) найти ряд и функцию распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение, вероятность двух попаданий в мишень.

19. Производится испытание детали на надежность. Вероятность отказа детали за время испытания равна 0,3. Х – число отказавших деталей из трех, подвергнувшихся испытанию. Для этой случайной величины: а) найти ряд и функцию распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение, вероятность отказа не более одной детали.

20. Игральную кость подбрасывали три раза. X – число выпадений двойки. Для этой случайной величины: а) найти ряд и функцию распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение, вероятность не более двух выпадений двойки.

21. Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной, равна 0,2. Х – число бракованных деталей из 5 взятых на проверку. Для этой случайной величины: а) найти ряд и функцию распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение, вероятность того, что среди этих 3 деталей будет не более одной бракованной.

22. Производится 3 выстрела по мишени. Вероятности попадания при каждом выстреле равны 3/4. X – число попаданий в мишень. Для этой случайной величины: а) найти ряд и функцию распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение, вероятность двух попаданий в мишень.

23. Устройство состоит из трех элементов. Вероятность того, что за время опыта любой из них откажет, равна 0,2. X – число отказавших элементов. Для этой случайной величины: а) найти ряд и функцию распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение, вероятность отказа не более одного элемента.

24. В партии 10% нестандартных деталей. Наудачу отобраны 4 детали. Х – число стандартных среди них. Для этой случайной величины: а) найти ряд и функцию распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение, вероятность того, что среди этих четырех деталей бракованных будет не менее трех.

25. Две игральные кости одновременно бросают 2 раза. X – число выпадений четного числа очков на двух игральных костях. Для этой случайной величины: а) найти ряд и функцию распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение, вероятность не более двух выпадений четного числа очков.

26. Вероятность выхода за границу поля допуска при обработке плунжера на токарном станке равна 0,07. Для проверки наудачу отобрано 3 плунжера. Х – число деталей, размеры которых не соответствуют заданному допуску. Для этой случайной величины: а) найти ряд и функцию распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение, вероятность того, что среди отобранных для проверки плунжеров не соответствуют заданному допуску размеры не более чем у двух плунжеров.

27. Станок штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется стандартной, равна 0,8. Х – число стандартных деталей среди 5 проверяемых. Для этой случайной величины: а) найти ряд и функцию распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение, вероятность того, что среди этих 5 деталей бракованных будет не менее трех.

28. Х раз выпадает герб при пяти подбрасываниях монеты. Для этой случайной величины: а) построить ряд и функцию распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение, вероятность не менее трех выпадений герба.

29. Игральную кость подбрасывали четыре раза. X – число выпадений шести очков. Для этой случайной величины: а) найти ряд и функцию распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение, вероятность не более двух выпадений шести очков.

30. Вероятность появления события А в одном испытании равна 1/4. Произведено четыре испытания. Событие А появилось в них Х раз. Для этой случайной величины: а) найти ряд и функцию распределения; б) найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение, вероятность появления события А хотя бы в двух испытаниях.