5. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

Пусть в пространстве заданы плоскость и прямая . Они могут быть 1) параллельны;

2) прямая может лежать в плоскости;

3) прямая и плоскость могут пересекаться в одной точке.

Выясним, как зная уравнения плоскости и прямой, определить их взаимное расположение.

Пусть : и :.

Тогда – нормальный вектор плоскости,

– направляющий вектор прямой.

Если плоскость и прямая параллельны или прямая целиком лежит в плоскости , то векторы и – перпендикулярны. Следовательно , (10)

или в координатной форме

. (11)

Если условие (10) (условие (11)) не выполняется, то геометрически это означает, что прямая и плоскость пересекаются в одной точке.

Частным случаем пересечения прямой и плоскости в одной точке является перпендикулярность прямой и плоскости. В этом случае и будут параллельны, что аналитически означает справедливость равенства

.

Теперь укажем условие, которое позволит различать случай параллельности прямой и плоскости и случай, когда прямая принадлежит плоскости. Пусть прямая лежит в плоскости . Тогда любая точка прямой лежит в плоскости и, следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости. В частности,

,

где – некоторая фиксированная точка прямой . Если же прямая параллельна плоскости, то она не имеет общих точек с плоскостью и, следовательно, для такой прямой

.

Таким образом, если прямая лежит в плоскости, то должны выполняться два условия:

и ;

если же прямая параллельна плоскости, то

, но ,

где – некоторая фиксированная точка прямой .

В заключение этого пункта вернемся к случаю, когда прямая и плоскость пересекаются в одной точке, и получим формулу для нахождения угла между прямой и плоскостью.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость .

Из определения следует, что угол между прямой и плоскостью не превышает , т.е. угол острый.

Пусть – угол между прямой и плоскостью , – их точка пересечения.

Через перпендикулярно плоскости проведем прямую . Для вектор является направляющим и, следовательно, острый угол между прямыми и может быть найден по формуле

.

Но ,

– формула для определения угла между прямой и плоскостью .

13