24. Установившееся движение однородной сжимаемой (упругой) жидкости и газа в пористой среде по закону Дарси.

Упругие свойства ж-тей при разработке нгм проявляются при снижении от начального значения пластового давления до Р_нас и наоборот. Рассмотрим уст. дв-е сжим. ж-ти в пористой среде. Для этого выделим в пористой среде трубку тока ,причем площадт поперечного сечения этой трубки меняется как ф-я длины. Ф-ия сжимаемой жидкости подчиняется обобщенному закону Дарси:;

,

-обобщ. З-н Дарси в диф. форме. ,

-потенциальная ф-я течения, с-произв. пост.,

-массовая скорость.

Массовый расход жидкости в любом сечении будет постоянным, если дв-е установившееся.;

,-массовый расход.

Из-за потерь давления при фильтрации сжимаемой жидкости или газа в пористой среде плотность и давление в начале трубки тока будет больше чем в конце.

P₁>P₂;ρ₁ >ρ₂;

Из-за изменения ρ и Р будет изменяться объемный расход.

При изучении движения упругой ж-ти :1.пренебрегают силами тяжести;2. под давлением понимают абсолютное давление.

Введем ф-ю Лейбензона в виде:

бтюе будем считать k=const≠f(P), μ=const≠f(P),ρ=f(P).

Если для несжимаемой жидкости з-н Дарси

тогда по аналогии для сжимаемой жидкости можно записать в виде

т.е. уравнения являются однотипными дифференциальными уравнениями, в которых объемному расходу несжим. ж-ти Q соответствует массовый расход сжимаемого флюида Q_m , а давлению Р в уравнении для несжимаемой жидкости соответствует функция Лейбензона в уравнении для сжимаемой жидкости.

Об аналогии свидетельствует тот факт, что уравнение Лапласа при уст. фильтрации несжимаемой жидкости удовл-т давлению

,

При установившейся фильтрации сжим. флюида ур-ю Лапласа удовлетворяет ф-я Лейбензона.

Уравнения движения для несжимаемой жидкости связывают скорость фильтрации V с давлением, а для сжимаемой жидкости массовую скорость с ф-ей Ф.

Т. о. при изучении ф-ции упругой ж-ти задача сводится к замене переменных в формулах, полученных для случая ф-ии несжимаемой ж-ти в пористой среде:

- дебит галереи,

-дебит скважины в круговом пласте.

25. Дифференциальное уравнение неустановившейся фильтрации упругой жидкости.

Рассмотрим нестационарное движение упругой жидкости в упругой пористой среде по линейному закону. Запишем дифференциальные уравнения фильтрации однофазного сжимаемого флюида в однородной пористой среде, пренебрегая силами тяжести и инерции:

-уравнение неразрывности(сплошности) потока

(*)

-уравнения движения(через потенц. ф-ю Лейбензона Ф) (**)

В уравнениях движения объемные скорости фильтрации V заменены массовыми (ρV), а давление –функцией Лейбензона

,

k=const, μ=const.

Подставив (**) в (*),

получим ,(***)-уравнение справедливо для неустановившегося движения однородного сжимаемого флюида в сжимаемой пористой среде. Необходимо перейти от функции Лейбензона к абсолютному давлению:

Считаем: k=const, μ=const.Используя уравнение состояния упругой жидкости и упругой пористой среды получим ,

дифференцируем по t:

;

Выражение функции Лейбензона Ф с учетом уравнения состояния жидкости

,

Выразим

;

Тогда запишем (***) в виде

или ,

-лапласиан,

-основные диф. уравнения упругого режима- уравнение пьезопроводности(по В.Н. Щелкачеву)

Уравнение пьезопроводности названо так по аналогии с уравнением теплопроводности (уравнение Фурье)- одним из основных уравнений математической физики. По аналогии с коэффициентом температуропроводности, который характеризует скорость перераспределения

температуры в проводниках, коэффициент æ в теории упругого режима назван В.Н.Щелкачевым коэффициентом пьезопроводности .

Уравнение пьезопроводности позволяет решать задачи неустановившейся фильтрации при упругом режиме. Например, при соответствующих начальных и граничных условиях находится функция давления P=P(x,y,z).