32. Область истинности предикатов

Множество тех значений, принадлежащих области определения M, для которых P₍_x₎=1, называется множеством истинности предиката P₍_x₎. Обозначается «Т».

33. Операции над предикатами

Конъюнкцией двух предикатов А(х) и В(х) называется новый предикат , который принимает значение «истина» при тех и только тех значениях х Т, при которых каждый из предикатов принимает значение «истина», и принимает значение «ложь» во всех остальных случаях. Множеством истинности Т предиката А(х) В(х), х Х является пересечение множеств истинности предикатов А(х) – Т1 и В(х) – Т2, т.е. Т= Т1 ∩Т2. Например: А(х): «х – четное число», В(х): « х кратно 3». А(х) В(х) – «х – четное число и х кратно 3». Т.е. предикат «х делится на 6».

Дизъюнкцией двух предикатов А(х) и В(х) называется новый предикат , который принимает значение «ложь» при тех и только тех значениях х Т, при которых каждый из предикатов принимает значение «ложь» и принимает значение «истина» во всех остальных случаях. Областью истинности предиката А(х) В(х) является объединение областей истинности предикатов А(х) В(х).

Отрицанием предиката А(х) называется новый предикат , который принимает значение «истина» при всех значениях х Т, при которых предикат А(х) принимает значение «ложь», и принимает значение «ложь», если А(х) принимает значение «истина». Множеством истинности предиката , х Х является дополнение Т' к множеству Т в множестве Х.

Импликацией предикатов А(х) и В(х) называется новый предикат А(х) В(х), который является ложным при тех и только тех значениях х Т, при которых А(х) принимает значение «истина», а В(х) – значение «ложь» и принимает значение «истина» во всех остальных случаях. Читают: «Если А(х), то В(х)». Например. А(х): «Натуральное число х делится на 3». В(х): «Натуральное число х делится на 4», можно составить предикат: «Если натуральное число х делится на 3, то оно делится и на 4». Множеством истинности предиката А(х) В(х) является объединение множества Т2 – истинности предиката В(х) и дополнения к множеству Т1 истинности предиката А(х)

34. Предикатная формула

--- 35. Формализация предложения

---

36. Кванторы и кванторные операции над предикатами.

Квантор – общее название для логических операций, ограничивающих область истинности какого-либо предиката.

Квантор всеобщности - ) (читается как «для каждого», «для любого», «для всех»)
Квантор существования – ( Ǝ ) (читается как «существует», «найдётся»)

_xP₍_x₎ означает, что область значений переменной x включает область истинности P₍_x₎(«При всех значения (х) утверждение верно»)

Ǝ_xP₍_x₎означает, что область истинности предиката P₍_x₎не пуста («существует такой (х) при котором утверждение верно»)

37. Исчисление предикатов и аксиомы исчисления предикатов.

Перенос квантора через отрицание.

; ;

Вынесение квантора за скобки.

; ;

3) Перестановка одноименных кванторов.

; ;

Переименование связанных переменных. Если заменить связанную переменную формулы другой переменной, не входящей в эту формулу, в кванторе и всюду в области действия квантора получаем формулу, равносильную .