24. Свойства алгебры множеств
1) Коммутативность
A
B=B
A
A
B=B
A
2)Ассоциативность
A
(B
С)=(A
B)
C
A
(B
С)=(A
B)
C
3) а)Дистрибутивность пересечения относительно объединения
A
(B
С)=(A
B)
(A
C)
б)Дистрибутивность объединения относительно пересечения
A
(B
С)=(A
B)
(A
C)
4)
A
U=A
A
Ø=A
5) Идемпотентность
A
A=A
A
A=A
6)
A
(A
B)=A
(A
B)
A=A
A
(A
B)=A
(A
B)
A=A
7)
A=U
– Закон исключения третьего
A
=Ø
– Закон
противоречия
8)
A
U=U
A
Ø= Ø
=U
=
Ø
9)Законы Де Моргана
=
=
10)
A\B=A
11) Закон двойного отрицания
=A
25. Определение Декартового произведения
Если
X = Y, и
то
говорят, что R - бинарное отношение
на множестве X. Такое отношение
называется
-
рефлексивным, если
-
симметричным, если
-
антисимметричным, если
-
транзитивным, если
-
полным (или линейным), если
26. Степень множества и его мощность.
Степень P(a) = это множество всех подмножеств. P(a)=2n, где n – количество элементов.
Мощность m – количество элементов множества.
27. Бинарные отношения на множестве
Все пары элементов (a,b)ϵM между которыми существует отношение R образуют подмножества (бинарные) из множества всех возможных пар элементов прямого произведения MxM=M2 называемым бинарным отношением R
Область определения – DR={x|существует такое b, что aRb}
Область значений – QR={b|<a,b>ϵR}
28. Свойства бинарных отношений
А) Рефлексивность
Бинарное отношение рефлексивно если для каждого элемента aϵM данное бинарное отношение выполняется aRa – т.е. элемент а похож на себя (отношение «жить в одном городе»)
Б) Антирефлексивность
Бинарное отношение антирефлексивно если для каждого элемента aϵM отношение aRa не выполняется (отношение «быть сыном»)
В) Симметричность
Отношение R симметрично если для любой пары <a,b>ϵMxM Бо выполняется в обе стороны – aRb и bRa (отношение «учиться в одном колледже»)
Г) Антисимметричность
Бинарное отношение R антисимметрично, если ни для каких различающихся элементов a и b не выполняется aRb, bRa (отношение «быть начальником»)
Д) Транзитивность
Бинарные отношения транзитивны, если для любых элементов a,b,c выполняется aRb и bRc => aRc (отношение «быть братом»)
29. Отношение эквивалентности.
Отношением эквивалентности называется бинарное отношение, если оно обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности)
30. Отношение порядка
Отношением порядка называется бинарное отношение, если оно обладает свойствами рефлексивности, антисимметричности и транзитивности.
Предикаты
31. Что называется предикатами, примеры предикатов
Предика́т
(n-местный,
или n-арный) —
это функция с множеством значений {0,1}
(или «ложь» и «истина»), определённая
на множестве
(произвольном
множестве). Таким образом, каждый набор
элементов множества M
характеризуется либо как «истинный»,
либо как «ложный».
Предикат P(x1,..xn)=1 – называется тождественно истинным.
Предикат P(x1,..xn)=0 – называется тождественно ложным.
Т.к. предикаты принимают значения только из множества {0;1} к ним применимы все свойства булевой алгебры.
Пример:
Предикат ЛЮБИТ(x,y) для отношения «x любит y»