3.3. Обратная матрица

Квадратная матрица, обозначаемая , называется обратной к матрице того же порядка, если выполняется равенство

. (3.7)

Для каждой невырожденной матрицы существует единственная обратная матрица.

Порядок вычисления обратной матрицы:

1. находим определитель исходной матрицы. Если , то матрица вырожденная, и обратной к ней матрицы не существует.

2. Каждый элемент матрицы заменяется своим алгебраическим дополнением .

3. Полученная матрица из алгебраических дополнений транспонируется и делится на определитель исходной матрицы.

В результате получаем обратную матрицу

. (3.8)

Пример 3.12.

Найти матрицу, обратную матрице.

Находим определитель матрицы . Т.к. он отличен от нуля, обратная матрица существует. Вычисляем алгебраические дополнения

, ,

, ,

, ,

, ,

.

Вычисляем обратную матрицу

.

УПРАЖНЕНИЯ

Вычислить сумму и разность матриц и .

3.13. .

3.14. .

Вычислить произведение матриц

3.15. . 3.16. .

3.17. .

3.18. Вычислить матрицу , где.

Определить, имеет ли матрица обратную, и если имеет, то вычислить ее.

3.19. . 3.20. .

3.21. . 3.22. .

О Т В Е Т Ы К У П Р А Ж Н Е Н И Я М

Глава 3

3.13. . 3.14. . 3.15. . 3.16. . 3.17. . 3.18. . 3.19.

3.20. . 3.21. .

3.22. .

Глава 4. Системы линейных алгебраических уравнений

4.1. Основные понятия и определения

Линейным уравнением относительно неизвестных называется выражение вида

, (4.1)

где которые называются коэффициентами уравнения, и b - свободный член - являются заданными числами. Линейное уравнение называется однородным, если его свободный член равен нулю. Решением линейного уравнения называется упорядоченный набор из n действительных чисел, подстановка которых вместо соответствующих неизвестных обращает данное уравнение в тождество.

Уравнение вида

, , (4.2)

называется противоречивым. Оно не имеет решений.

Уравнение вида

, (4.3)

называется тривиальным. Его решением является любой набор из n действительных чисел.

Конечная совокупность линейных уравнений называется системой линейных уравнений. Система m линейных уравнений с n переменными имеет вид

(4.4)

Действительные числа называются коэффициентами системы. Первый индекс у коэффициента соответствует номеру уравнения, второй – номеру переменной, при которой стоит данный коэффициент. Числа называются свободными членами. Индекс свободного члена соответствует номеру уравнения.

Система линейных уравнений называется однородной, если она состоит из однородных линейных уравнений. В противном случае система называется неоднородной.

Решением системы линейных уравнений называется упорядоченный набор из n действительных чисел, при подстановке которых вместо соответствующих неизвестных каждое уравнение системы обращается в тождество.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений. Однородная система всегда совместна, т.к. имеет, по крайней мере, нулевое решение.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Две системы уравнений называются равносильными, или эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений, либо обе системы несовместны. Равносильные системы получаются при помощи следующих элементарных преобразований:

а) умножение обеих частей какого-либо уравнения на одно и то же число, не равное нулю;

б) перестановка уравнений;

в) перенумерация неизвестных;

г) вычеркивание уравнений вида (4.3), т.е. тождества 0=0.

д) прибавление к обеим частям одного из уравнений соответствующих частей другого уравнения, предварительно умноженного на некоторое число.

Рассмотрим методы решения систем линейных алгебраических уравнений.