Глава 2

2.12. -2. 2.13. 46. 2.14. 10. 2.15. -19. 2.16. 49. 2.17. -100. 2.18. -1. 2.19. -6 2.20. , , , . 2.21. 43. 2.22. -624. 2.23. -390. 2.24. 100.

Глава 3. Матрицы

3.1. Основные понятия

Матрицей размерности называется прямоугольная таблица элементов, состоящая из m строк и n столбцов. Матрицы обычно обозначаются заглавными латинскими буквами, а их элементы – строчными латинскими буквами.

(3.1)

где – элемент матрицы, расположенный в i-ой строке и j-ом столбце. Элементами матрицы могут быть числа, переменные, функции и др. математические объекты. Наряду с круглыми скобками используются и другие обозначения матриц:

Пример 3.1.

Две матрицы A и B одного размера называются равными, если при всех i и j.

Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором) – строкой, состоящая из одного столбца – матрицей (вектором) – столбцом.

Пример 3.2.

- матрица – строка.

Пример 3.3.

- матрица – столбец.

Матрица называется квадратной n–го порядка, если число ее строк равно числу столбцов и равно n. Например, - квадратная матрица 2-го порядка. Если определитель квадратной матрицы равен нулю, то она называется вырожденной.

Элементы матрицы , у которых номер строки равен номеру столбца (i=j) называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы.

Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то матрица называется диагональной.

Пример 3.4.

- диагональная матрица третьего порядка.

Если у диагональной матрицы n-го порядка все диагональные элементы равны единице, то матрица называется единичной матрицей n-го порядка и обычно обозначается буквой E илиE_n.

Пример 3.5.

E₂ - единичная матрица 2-го порядка,

E₃ - единичная матрица 3-го порядка.

Матрица любого размера называется нулевой, если все ее элементы равны нулю:

.

3.2. Действия над матрицами

Над матрицами, как и над числами, можно производить ряд действий.

1. Умножение матрицы на число.

Произведением матрицына числоназывается матрица , элементы которой равны

(3.2)

Пример 3.6.

, .

Следовательно, общий множитель всех элементов матриц можно выносить за знак матрицы.

Пример 3.7.

Матрицу называют противоположной матрице и означают .

2. Сложение матриц.

Суммой двух матриц и одинакового размера называется матрица, элементы которой равны

(3.3)

т.е. матрицы складываются поэлементно.

Пример 3.8.

, , .

3. Вычитание матриц.

Разность двух матриц одинакового размера определяется формулой

. (3.4)

Пример 3.9.

, , .

4. Транспонирование матриц.

Транспонированием матрицы называется замена ее строк столбцами с сохранением их порядка. Транспонированная матрица обозначается .

Пример 3.10.

, .

5. Умножение матриц.

Перемножать можно только матрицы согласованных размеров, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Пусть матрицы и имеют соответственно размеры и . Их произведением в указанном порядке называют матрицу размера , элемент которой равен сумме произведений элементов -ой строки матрицы на соответствующие элементы -ого столбца матрицы , т.е.

. (3.5)

Пример 3.11.

Если в этом примере поменять местами матрицы – сомножители и попытаться найти произведение, то увидим, что оно не существует, т.к. количество столбцов матрицы не равно количеству строк матрицы . Следовательно, в общем случае для произведения матриц не выполняется переместительный закон, т.е.

. (3.6)