Глава 1

1.16. нет. 1.17. а) все фигуры – многоугольники, не обладает этим свойством окружность; б) все слова – глаголы, не обладает этим свойством прилагательное “синий”; в) все числа – четные, не обладает этим свойством число 15; а) все числа – квадраты некоторых целых чисел, не обладает этим свойством число 67.

1.18. . 1.19. .

1.20. Указанием характеристического свойства: ; перечислением элементов: A={-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3}.

1.21. . 1.22. а) ;

б) M={1; 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29}. 1.23. нет. 1.24. да.

1.25. A=D=F и B=C. 1.26. Равны множества букв в словах “сосна” и “насос”; также в словах “осколок” и “колос”. 1.27. Ø, , , , , , , , , , , , , , , . 1.28. , . 1.29. нет. 1.30. да. 1.31. нет.

1.32. а) , ;

б) , . 1.33. а) , ; б) , ;

в) , Ø. 1.34. a) {3,5,6}, б) {1,2,3,5,6}. 1.35. {2,3,4,5,6,7}. 1.36. ,.

1.37. , . 1.38. , Ø.

1.39. 7 человек. 1.40. 2 человека. 1.41. Только французский язык изучают 13 человек, только немецкий – 20 человек, только английский – 30 человек, ни одного языка не изучают 20 человек.

1.42. рисунки

Раздел 2 элементы линейной алгебры

Глава 2. Определители

1. Понятие определителя

Определителем n-го порядка называется математический объект, имеющий вид квадратной таблицы чисел, переменных или функций, содержащий n строк и n столбцов, заключенной в прямые скобки.

Он имеет вид

(2.1)

где – элемент определителя, расположенный в i-ой строке и j-ом столбце.

Главной диагональю определителя называется совокупность элементов , побочной –.

Минором элемента называется определитель -го порядка, полученный из определителя -го порядка вычеркиванием –ой строки и -го столбца, на пересечении которых находится элемент.

Пример 2.1.

, .

Алгебраическое дополнение элемента определяется равенством

(2.2)

Пример 2.2.

2. Вычисление определителей

Значение определителей находятся следующим образом:

1. Если , то

2. Если , то

(2.3)

Пример 2.3.

3. Если , то

(2.4)

Данную формулу легко запомнить, если пользоваться схемой, которая называется правилом треугольников. Формула (2.4) показывает, что со своими знаками берутся произведения элементов, расположенных на главной диагонали, а также элементов, расположенных в вершинах двух треугольников, основания которых параллельны главной диагонали; с противоположным знаком берутся произведения элементов, расположенных на побочной диагонали, а также в вершинах двух треугольников, основания которых параллельны побочной диагонали.

Р И С У Н О К

П р и м е р 2.4.

2.3. Основные свойства определителей

1. Определитель не изменится, если его транспонировать, т.е. строки записать в столбцы, не меняя их порядка.

П р и м е р 2.5.

Из этого свойства следует, что строки и столбцы определителя равноправны, т.е. свойства, сформулированные для строк, выполняются и для столбцов.

2. Если поменять местами две какие-либо строки (столбца) определителя, то он сменит свой знак на противоположный.

П р и м е р 2.5.

3. Если какая-либо строка (столбец) определителя состоит из одних нулей, то определитель равен нулю.

П р и м е р 2.6.

4. Если две какие-либо строки (два столбца) определителя состоит из одинаковых элементов, то определитель равен нулю.

П р и м е р 2.7.

5. Если элементы какой либо строки (столбца) определителя имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

П р и м е р 2.8.

6. Если элементы каких-либо двух строк (столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

П р и м е р 2.9.

7. Определитель не изменится, если к элементам любой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы любой другой строки (столбца), предварительно умноженные на некоторое число.

П р и м е р 2.9.

8. Теорема Лапласа (о разложении определителя). Определитель равен сумме произведений элементов произвольной строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т.е.

(2.4)

П р и м е р 2.10.

Вычислим этот же определитель разложением по третьему столбцу:

Разложение можно производить по любой строке или столбцу, поэтому предпочтительно выбирать строку (столбец), содержащие нули, причем разложение тем проще, чем больше нулей в выбранной строке (столбце)

Разложим тот же самый определитель по второму столбцу.

Теорема о разложении определителя позволяет свести вычисление определителя n-го порядка к вычислению n определителей (n-1)-го порядка. При этом, пользуясь вышеизложенными свойствами , следует так преобразовать определитель, чтобы элементы его выбранной для разложения строки (столбца) обратились в нули (за исключением одного (если определитель не равен нулю).

П р и м е р 2.11. Вычислить определитель

Выберем элемент (удобно, когда в определителе есть элемент, равный единице) и получим на месте остальных элементов второго столбца нули. Для этого ко второй строке прибавим первую строку, умноженную на число 2, к третьей строке прибавим первую, к четвертой строке прибавим первую строку, умноженную на 6; получим

Разложим полученный определитель по элементам второго столбца (см. формулу 2.4). В этом разложении останется лишь одно слагаемое, равное произведению элемента на его алгебраическое дополнение , т.к. все остальные элементы столбца равны нулю.

Полученный определитель третьего порядка можно вычислить по правилу треугольников или подобным же путем свести к вычислению одного определителя второго порядка. Прибавим к первому столбцу второй столбец, получим

Затем прибавим ко второму столбцу первый столбец, умноженный на 3. Во второй строке останется единственный отличный от нуля элемент. Разложим определитель по второй строке, получим

Воспользуемся свойством 5, а затем вычислим полученный определитель второго порядка по формуле (2.2)

УПРАЖНЕНИЯ

Вычислить определители второго порядка

2.12. 2.13. 2.14. 2.15.

Вычислить определители третьего порядка по правилу треугольников

2.16. 2.17. 2.18. 2.19.

2.20. Вычислить алгебраические дополнения ,, , , если

Вычислить определители четвертого порядка

2.21. 2.22. 2.23. 2.24.

О Т В Е Т Ы К У П Р А Ж Н Е Н И Я М