1.2. Операции над множествами

Объединением двух множеств A и B называется множество C, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат или только множеству A, или только множеству B, или обоим множествам. Обозначается .

{ или }.

Пример 1.8.

, , .

Для того, чтобы операции с множествами сделать более наглядными, используется графическое представление множеств в виде кругов Эйлера.

Пусть точки внутри левого круга на рис. 1.1 представляют множество A (круг заштрихован горизонтальными линиями), точки внутри правого круга, заштрихованного вертикальными линиями, представляют множество B. Тогда вся заштрихованная область представляет объединение множеств .

Свойства операции:

1. ;

2. ;

3. ;

4. Ø.

Пересечением двух множеств A и B называется множество C, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат и А, и В одновременно. Обозначается .

{ и }.

Если множества и не имеют общих элементов, то их пересечением является пустое множество, т.е. Ø.

Пример 1.9. , , .

Пример 1.10. , , Ø.

Графически пересечение множеств А и В представлено заштрихованной областью на рис. 1.2.

Свойства операции:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ØØ.

Для операции пересечения и объединения множеств выполняется закон: .

Если множество содержит n элементов, а множество содержит m элементов, то множество содержит элементов только тогда, когда их пересечение является пустым множеством.

Если множества , и содержат n, m и l соответственно, то множество содержит элементов.

1.3. Подмножество

Множество называется подмножеством множества B, если каждый элемент является элементом B. Обозначается: .

Графически изображение подмножества показано на рис. 1.3.

Пример 1.11. A = {3, 5}, B = {1, 2, 3, 4, 5} , .

Проще всего представить себе подмножество как часть множества.

Само множество всегда является своим подмножеством, т.е. . Пустое множество Ø является подмножеством любого множества.

Свойства подмножеств:

1. если , то ;

1. если , то .

1.4. Дополнение к множеству

Рассмотрим некоторую систему множеств . Множество I называется универсальным для этой системы, если каждое множество системы является подмножеством I, т.е. , , , ….

Пример 1.12. , , (множество четных чисел), (множество простых чисел). Для этих множеств за универсальное можно принять множество всех натуральных чисел .

Графически изображение универсального множества I для системы из четырех множеств показано на рис. 1.4.

Дополнением множества называется множество, состоящее их тех и только тех элементов универсального множества, которые не входят в . Обозначается .

Пример 1.13. Пусть I – множество натуральных чисел, – мно-жество четных чисел. Тогда – множество нечетных чисел.

Графическое изображение дополнения к множеству показано на рис. 1.5 (заштрихованная область – это ).

Свойства дополнений:

1. ; ;

2. ; Ø;

3. (дополнение к множеству равно );

4. ;

5. .