Полнота.

Система функций {f₁,f₂,…,f_i,…} из называется полной в , если любая булева функция может быть представлена в виде суперпозиции функций данной системы.

4. Пусть {f₁,f₂,…,f_i,…} – полная в система, а {g₁,g₂,…,g_K,…} – такая система функций, что для любого i f_i=S_i[g₁,g₂,…,g_K,…]. Тогда система {g₁,g₂,…,g_K,…} – полна.

8. Полными в являются системы:

• (т.к. каждую функцию можно считать формулой над );

• {,,} (в силу теоремы 2);

• {0,1,,} (т.к. система {,,} полна и xy=xyxy).

• {,} (т.к. система {,,} полна и );

• {,} (т.к. система {,,} полна и );

• {|} (т.к. система {,} полна и , ).

Замкнутость.

С понятием полноты тесно связано понятие замыкания. Пусть M. Замыканием [M] множества M называется множество всех булевых функций, представимых формулами над M. Теперь определение полноты можно переформулировать следующим образом. Система функций M полна в, если [M]=.

Множество M называется замкнутым классом, если [M]=M.

• []=;

• [{,,}]=;

• [{0,1}]=[{0,1}].

Свойства замыкания:

1. M[M].

2. [M]=[[M]].

3. Если m1m2, то [m1][m2].

4. [M₁][M₂] [M₁M₂].

Задачи

22. Сведением к заведомо полным системам показать, что множество A является полным в P₂:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. .

Важнейшие замкнутые классы

Класс функций, сохраняющих константу 0 – T₀.

T₀={f:f(0,0,…,0)=0}.

10. Функции 0, x, x&y, xy, xy  T₀, а x, x~y  T₀.

Очевидно, что |T₀ⁿ|=, т.к. функции из T₀ могут принимать любое из двух значений 0 или 1 на любых наборах, кроме первого.

4. [T₀]= T₀.

Класс функций, сохраняющих константу 1 – T₁.

T₁={f:f(1,1,…,1)=1}.

11. Функции 1, x, x&y, xy, x~y  T₁, а x, xy  T₁.

Очевидно, что |T₁ⁿ|=, т.к. функции из T₁ могут принимать любое из двух значений 0 или 1 на любых наборах, кроме последнего.

Отметим, что классы T₀ иT₁ двойственны, т.е. T₀*=T₁ и T₁*=T₀.

5. [T₁]= T₁.

Класс линейных функций – L.

Функция f(x₁,…,x_n) называется линейной, если ее можно представить в виде полинома Жегалкина не выше первой степени, т.е. если существуют такие константы A_i, i=1,…,n, что .

12. Функции 0,1, x, x, xy, x~y  L, а x&y, xy  L.

6. |Lⁿ|=.

7. [L]= L.

8. Функция является линейной тогда и только тогда, когда она меняет свое значение на любой паре соседних по существенной переменной наборов.

9. (лемма о нелинейной функции) Если fL, то x&y[{f,0,1,x}].

Класс самодвойственных функций – s.

Функция f называется самодвойственной, если f=f*.

.

Функции x, x, xyz, xyyzzx  S, а 0, 1, x&y, xy  S.

10. [S]= S.

11. |Sⁿ|=.

12. (лемма о несамодвойственной функции) Если fS, то 0,1[{f,x}].

Класс монотонных функций – m.

Функция f(x₁,…,x_n) называется монотонной, если на любой паре сравнимых наборов и таких, что , выполнено f()f().

13. Функции 0, 1, x, x, x&y, xy, xyyzzx  M, xy, x|y, xy  M.

13. [M]=M.

14. (лемма о немонотонной функции) Если fM, то x[{f,0,1}].

Задачи

23. Выяснить, являются ли функции f и g самодвойственными:

    1. , _g=(1001 1011 1011 1001);

    2. , _g=(1100 0011 1010 0101);

    3. , _g=(1101 0100 1011 0010);

    4. , _g=(1100 0011 0011 1100);

    5. , _g=(1001 0110 1001 0110);

    6. , _g=(1010 0101 0101 1010);

    7. , _g=(0101 0110 1000 0101);

    8. , _g=(0101 0100 1101 1010);

    9. , _g=(0101 0100 1100 0101);

    10. , _g=(0010 1000 1110 1011).

24. Заменить прочерки символами 0 и 1 так, чтобы получился вектор значений самодвойственной функции:

1. _f=(0 1 – 0 – 0 – –);

2. _f=(– – 01 – – 1 1);

3. _f=(– 1 – 1 – 0 – 1);

4. _f=(– 1 0 – 0 – – 1);

5. _f=(1 – – 0 – 0 0 –);

6. _f=(0 1 – – 0 1 – –);

7. _f=(1 – 0 – 0 – 1 – );

8. _f=(– 0 1 – 1 – – 0);

9. _f=(– – 0 – 1 – 1 0);

10. _f=(1 0 – 0 – 1 – – ).

25. Определить, какие переменные функции f следует заменить на x, а какие на с тем. Чтобы получить константу:

1. _f=(0110 1000 1110 1011);

2. _f=(1010 1110 1100 1010);

3. _f=(1011 0100 1111 0010);

4. _f=(1110 1000 0110 1000);

5. _f=(0000 1111 0010 1111);

6. _f=(1010 0101 0101 0011);

7. _f=(1101 0001 1011 0100);

8. _f=(0101 1101 0100 1111);

9. _f=(0110 1001 0101 1101);

10. _f=(1101 0000 1101 0000).

26. Представив функцию полиномом, выяснить, является ли она линейной:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. .

27. Выяснить, является ли линейной функция:

1.  _f =(0110 1001 0110 1001);

2. _f =(1010 0101 0101 1010);

3. _f =(0011 1100 1100 0011);

4. _f =(1001 1001 0110 0110);

5. _f =(1010 0110 0110 0101);

6. _f =(1010 0101 1001 1100);

7. _f =(1101 0010 1101 0010);

8. _f =(0111 1001 1000 0110);

9. _f =(0011 0010 1100 1101);

10. _f =(0100 1100 1100 1011).

28. Заменить прочерки символами 0 и 1 так, чтобы получился вектор значений линейной функции:

1. _f =(1 – – – – – – – – – – 0 – 1 1 0);

2. _f =(– 1 1 – 1 – – – 1 – – – – – – 0);

3. _f =(– – – 0 – 0 0 – 1 – 0 – – – – –);

4. _f =(– 1 0 0 – – – 1 – 1 – – – – – –);

5. _f =(– – – 1 – 1 1 – – 1 1 – 1 – 0 –);

6. _f =(0 – 1 – – – – 1 – – – 1 – – – 0);

7. _f =( – – – – 1 0 – – – – 0 – 0 1 – –);

8. _f =(– 1 – – – – – – 0 0 – 1 – 1 – –);

9. _f =(0 1 – – – – – – 1 – 1 – 1 – – –);

10. _f =(– – 0 0 – – – – 1 1 – – – 0 – –).

29. Получить из функции f функцию xy:

1. _f =(1101 1111 1100 1111);

2. _f =(1111 0101 1111 1101);

3. _f =(1001 0111 1111 1010);

4. _f =(0111 1111 1110 1110);

5. _f =(0111 1011 1111 1110);

6. _f =(1101 1001 1001 0111);

7. _f =(1011 1111 1001 1111);

8. _f =(1011 0011 0010 1111);

9. _f =(0010 1111 1111 0101);

10. _f =(1111 1111 1110 1100).

30. Определить, являются ли функции f и g монотонными. Для немонотонных функций указать два соседних набора :

1. , _g=(00010101);

2. , _g=(01010111);

3. , _g=(00110011);

4. , _g=(00010111);

5. , _g=(00010110);

6. , _g=(00011111);

7. , _g=(1001 1011);

8. , _g=(1100 0011);

9. , _g=(1101 0100);

10. , _g=(1010 0101).