Обчислити першу квадратичну форму поверхні:

1. x=rcosucosv, y=rcosvsinu, z=rsinv.

2. x=acosucosv, y=bsinucosv, z=csinv (еліпсоїд).

3. (однопорожнинний гіпербалоїд).

4. x=acosu, y=bsinu, z=v.

5. x=(u+v), y=(u-v) , z=2uv.

6. x=avcosu, y=bvsinu, z=cv.

7. .

8. .

29. Знайти повну кривину поверхні

1. .

2. x=acosusinv, y=asinusinv, z=cosv (еліпсоїд обертання).

3. x=cos²ulntg, y=sinucosv, z=sinusinv (псевдосфера).

4. z=lncosx-lnsiny, повна кривина поверхні дорівнює нулю. Довести.

30. Скласти рівняння дотичної площини і нормалі до гелікоїда:

x=vcosu, y=vsinu, z=ku (у будь-якій точці).

32. Показати, що середня кривина катеноїда рівна нулю:

.

32. Скласти рівняння дотічної площини і нормалі до поверхні у точці:

1. x²+z²+a²y²-r²x²=0 (x,y,z).

2. xyz=a³.

32. Обчислити повну і середню кривину поверхні

x=3u+3uv²-u³, y=v³-3v-3u²v, z=3(u²-v²).

32. Знайти першу і другу квадратичні форми поверхні

1. .

2. .

32. Скласти рівняння площини, що дотікається до поверхні

x²-5y²-z²-4xy-6yz-4x-2y-6z+8=0.

32. Показаті, що всі дотичні площини поверхні, заданої рівнянням проходять через початок координат

z=x.

32. Показати, що нормалі поверхні x(u)cosv, y=(u)sinv, z=(u) перетінають вісь Z.

33. До поверхні xyz=1 провесті дотічну площіну, паралельну площині x+y-z-3=0.

34. Знайти площу дільниці гвинтової поверхні x=(u-1)cosv, y=(u-1)sinv, z=2+v, що відповідає зміні параметров в області .

35. Довести, що дотичні площини до поверхні xyz=a³.

36. Знайти площу дільниці гвинтової повезхні x=tgucosv, y=tgusinv, z=, що відповідає зміні параметров в області , .

37. Долвести, що на поверхні x^2/3+y^2/3+z^2/3=a^2/3 сума квадратів відрізків, що відтинаються дотичними площинами на осях, є величина постійна.

38. Знайти площу чотирикутника на гелікоїді x=aucosv, y=ausinv, z=bv, обмеженого кривими u=0, u=, v=0, v=1.

39. Обчислити об’єм пераміди обмеженої площинами координат і дотичною площиною до поверхні a²y²-x²y²-c²z²=1.

40. Показати, що сума квадратів відрізків, які відтинаються на осях кооррдинат дотичними площинами до поверхні x=u³sin³v, y=u³cos³v, z=(a²-u²)^3/2, постійна.