Задание 5

1. В пространстве дана кривая

Доказать, что касательные к этой кривой во всех её точках, образуют постоянный угол ₀ с вектором определить угол _0.

2. Доказать, что соприкасающиеся плоскости винтовой линии

образуют с координатной плоскостью XОY постоянный угол ₀.

Определить этот угол

3. Написать уравнение нормальной плоскости кривой.

в точке (3, 3, 18)

4. Показать, что нормальные плоскости кривой

^{проходят через начало координат}

5. ^{Доказать, что главные нормали кривой}

во всех ее точка параллельны плоскости YOZ

6. Найти уравнение главной нормали и бинормали кривой

x=y², z=x² в точке (1, 1, 1).

7. Найти уравнение спрямляющей плоскости кривой

8. Написать уравнение главной нормали кривой

в точке (0, 0, 1).

9. Написать уравнение соприкасающейся плоскости кривой

в точке (а, 0, 1)

9. Доказать, что касательные к кривой

образуют постоянный угол ₀ с некоторым нулевым вектором. Определить этот угол.

ЗАДАНИЕ 6.

Найти кривизну плоской кривой:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

ЗАДАНИЕ 7.

Найдите кривизну кривой при заданном значении аргумента t.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

ЗАДАНИЕ 8.

Найдите первую квадратичную форму поверхности:

1. Поверхность вращения с осью OZ

2. Cфера

3. Эллипсоид вращения

4. Однополостный гиперболоид вращения

5. Двуполостный гиперболоид вращения

6. Параболоид вращения

7. Круговой цилиндр.

8. Круговой конус без вершины

9. Тор

10. Катеноид

ЗАДАНИЕ 9.

1.Найдите величину угла между линиями v=u и v=-u на прямом геликоиде:

x=uCosv, y=uSinv, z=au.

2. Найдите величину угла между линиями V=2U и V=-2U на cфере

x=RCosuSinv, y=CosuCosv, z=RsinU

3. Дана поверхность x=u²+v², y=u²-v², z=uv

а) найдите первую квадратичную форму,

б) вычислите дифференциал длины дуги для линий

u=2, v=1, v=au

в) вычислите длину дуги линии v=au между ее пересечениями с линиями

u=1, u=2.

4. Найдите, под каким углом пересекаются линии u+v=0, u-v=0, на прямом геликоиде x=ucosv, y=usinv, z=av

5. Найдите периметр и внутренние углы криволинейного треугольника , v=1, расположенного на поверхности, у которой

6. На поверхности с первой квадратичной формой

найдите длину дуги линии u=v между точками M₁(u₁,v₁), M₂(u₁,u₂).

7. Найдите угол между линиями u=2v и v=-2u на поверхности имеющей первую квадратичную форму ds²=du²+dv².

8. Найдите угол между линиями v=u+1, v=3-u на поверхности

x=ucosv, y=usinv, z=u²

7. Найдите площадь криволинейного треугольника u=av, v=1, расположенного на поверхности с первой квадратичной формой

ds²=du²+(u²+a²)dv²

7. Найдите площадь четырехугольника на прямом геликоиде

x=ucosv, y=usinv, z=av,

ограниченного линиями: u=0, v=0, u=a v=1.

ЗАДАНИЕ 10.

Вычислите площадь поверхности:

1. Цилиндра z=x², отсечённого плоскостями

; ;

2. Параболоида z=x²+y², расположенного внутри цилиндра x²+y²=1.

3. z=2xy, расположенный внутри цилиндра x²+y²=2.

4. Конуса z²=2xy, отсеченного плоскостями x=a, y=a; при x0,y0

5. Конуса y²+z²=x², расположенного внутри цилиндра x²+y²=c².

6. Части сферы, ограниченной двумя паралеллями и двумя меридианами.

7. Конуса x² - y²=z², расположенного в первом октанте и ограниченного плоскостью y+z=a.

8. Цилинидра x²+y²=ax, вырезанного сферой x²+y²+z²=a², вырезанного сферой x²+y²+z²=a².

9. Шара x²+y²+z²=a², вырезанного плоскостью x+y=a.

10. Параболоида y²+z²=2cx находящегося между цилиндром y²=cx и плоскостью x=a.

ЗАДАНИЕ 11.

Найдите вторую квадратичную форму поверхности.

Найдите гауссову кривизну К в заданной точке /u=1, v=1/.

1. Псевдосфера

2. Катеноид

.

3. Top

4. Геликоид

5. Крутой цилиндр

6. Параболоид вращения

7. Двуполостный гиперболоид вращения

8. Однополостный гиперболоид вращения

9. Эллипсоид вращения

10. Параболоид z=x²-y².

ДОДАТКОВІ ЗАДАЧІ З ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОЇ ГЕОМЕТРІЇ

1. Знайти рівняння дотичної і нормалі до заданої кривої у заданій точці:

1. 2x²–x²y²-3x+y+7=0, A(1,-2).

2. x=1/2 t²-1/4 t⁴, y=1/2 t²+1/3 t³, t=0.

3. x²(x+y)-a²(x-y)=0, B(0,0).

4. x= , y=t- , t=0.

5. x²-xy-y²-2x+2y-8=0, C(4,-2).

6. 6x²+3xy-y²+2x-y=0, D(0,-1).

7. x²+xy+y²+3y=0, E(0,-3).

8. x³+y³-3axy=0, F(, )

9. y=alncos, x=2a.

10. y²=x³-2x²+x, x=1.

11. x³-3ax+y³=0, G(x₀,y₀).

12. (x²+y²)²-2a²(x²-y²)=0, x=a.

2. Знайти довжину дуги заданої лінії, прийнявши за початок відліку задану точку:

1. x=t+, y=t-, z=t², t=1.

2. x=a(t-sint), y=a(1-cost), z=4acos(t/2), t=0.

3. y=2, z=bln, x=a.

4. x=3acost, y=3asint, z=4at, t=0.

5. x=t-, y=t+, z=t², t=1.

3. Знайти довжину дуги заданої кривої x³=3a²y, 2xy=a² між заданими площинами y=a/3, y=9a.

4. Знайти довжину заданої кривої прийнявши за початок відліку задану точку:

1. y=, z=, x=0.

2. y=, z=, x=a.

3. x=acht, y=asht, z=at, t=0.

4. Знайти одиничні вектори дотичної, нормалі і бінормалі до заданої кривої x=(t-sint), y=a(1-cost), z=4acos(t/2).

5. Знайти орти дотичної нормалі і бінормалі до заданої кривої у заданій точці:

1. x³=3a²y, 2xz=a².

2. x²+y²+z²=3, x²+y²=2, A(1,1,1).

4. Скласти рівняння стичної площини заданої кривої у заданій точці:

1. x²+z²=a², y²+z²=b², тч. довільна.

2. x^2+y2^-z2=1, x²-y²-z²=1, D(1,0,0).

4. Знайти рівняння головної нормалі кривої у заданій точці:

1. x²+y²=10a², y²+z²=25a².

2. x=t+, y=t-, z=t², t=1.

4. Знайти нормаль заданій кривої x²y=a²(a-y), паралельну заданій прямій y=2x.

5. Знайти рівняння нормальної і стичної площин заданої кривої у заданій точці:

1. x²+z²=a², y²+z²=b².

4. Довести, що дотична до заданої кривої x²-y²=a³(x+y), на початку координат нахилена до осі x під кутом .

5. На заданій кривій x³-y³=3x² знайти дотичну паралельну заданій прямій y=x.

6. Показати, що задані криві перетинаються під прямим кутом:

1. x²-y²=a², xy=b².

2. і .

4. Обчислити радіус кривизни заданої лінії y=lncosx у точці x=2.

5. Знайти рівняння нормалі і бінормалі до заданої кривої у заданій точці:

1. x=acost, y=sint, z=bt, тч. довільна.

2. x=t⁴/4, y=t³/3, z=t⁴/2.

4. Скласти рівняння головної нормалі і бінормалі до заданої лінії у заданій точці:

1. y²=x, x²=z, F(1,1,1).

2. x=t, y=t², z=e^t.

4. Скласти рівняння стичної площини і бінормалі до заданої кривої у заданій точці:

1. x=e^t, y=e^-t, z=t, тч. довільна.

4. Скласти рівняння спрямої площини заданої кривої x=sint, y=cost, z=tgt у точці t=.

5. Знайти нормальну і стичну площини заданої кривої x²=2az, y²=2bz у будь-якій точці.

6. Знайти орти дотичної, головної нормалі і бінормалі до заданої кривої x=tsint, y=tcost, z=te^t у точці, що відповідає значенню t=0.

7. Скласти рівняння стичної і нормальної площини заданої лінії x=a(u-sinu), y=a(1-cosu), z=sint при t=0.

8. Знайти кривину заданої кривої у заданій точці:

1. , .

2. x²-y³-3axy=0, S(1,1,1).

3. , M().

4. Знайти кривину і скрут заданої кривої у заданій точці:

1. y=, z=, M₀(x₀,y₀,z₀).

2. x=2t, y=lnt, z=t², тч. довільна.

3. x=3t-t³, y=3t², z=3t+t³, тч. довільна.

4. x=t-sint, y=1-cost, z=4sin(t/2), тч. довільна.

5. x=cos³t, y=sin³t, z=cos2t, тч. довільна.

6. x=e^tsint, y=e^tcost, z=e^t, t=0.

7. x=sint, y=cost, z=sint, t=0.

8. x²=3y, 2xy=9z.

9. x²-y²+z²=a², y²-(2x+z)a=0, A(a,a,a).

10. x=a, y=a, z=a(t-cht), тч. довільна.

11. x+chx=siny+y, z+e^z=x+ln(1+x)+1, тч. довільна.

12. x=acht, y=asht, z=at, t=0.

13. x=2y, x³=6a²z.

14. x=acost, y=, z=asint, t=0.

15. x³=3p²y, 2xz=p², C(p/2,p/24,p).

16. x²+y²+z²=3, x²+y²=2, W(1,1,1).

4. Знайти скрут кривої x=chtcost, y=achtsint, z=at у точці, де t=.

5. При якому значенні b скрут гвинтової лінії z=acost, y=asint, z=bt має максимальне значення?

6. Довести, що всі нормалі до кривої x=a(cost+tsint), y=a(sint-tcost) рівновіддалені від початку координат.

7. Скласти рівняння дотичної площини до поверхні у заданій точці:

1. xy²+z³=12, A(1,2,2).

2. x=u+v, y=u²+v², z=u³+v³,B(3,5,9).

3. , C(x,y,z).

4. xy²+z³=12, D(1,2,2).

5. xⁿ+yⁿ+zⁿ=aⁿ, E(x,y,z).

6. (x²+y²+z²)²=a²(x²-y²+z²), F(x,y,z).