Контрольная работа № 2

6. Провести полное исследование заданной функции и построить её график.

6.1. 6.2.

6.3. 6.4.

6.5. 6.6.

6.7. 6.8.

6.9. 6.10.

6.11. 6.12.

6.13. 6.14.

6.15. 6.16.

6.17. 6.18.

6.19. 6.20.

7. Найти дифференциал указанной функции.

7.1. 7.2.

7.3. 7.4.

7.5. 7.6.

7.7. 7.8.

7.9. 7.10.

7.11. 7.12.

7.13. 7.14.

7.15. 7.16.

7.17. 7.18.

7.19. 7.20.

8. Исследовать на экстремум функцию .

8.1. . 8.2. .

8.3. . 8.4. .

8.5. . 8.6. .

8.7. . 8.8. .

8.9. . 8.10. .

8.11. 8.12.

8.13. 8.14.

8.15. 8.16.

8.17. 8.18.

8.19. 8.20.

9. Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями. Сделать чертеж.

9.1. . 9.2. .

9.3. . 9.4. .

9.5. . 9.6. .

9.7. . 9.8. .

9.9. . 9.10. .

9.11. 9.12.

9.13. 9.14.

9.15. 9.16.

9.17. 9.18.

9.19. 9.20.

10. Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка.

10.1. . 10.2. .

10.3. . 10.4. .

10.5. . 10.6. .

10.7. . 10.8. .

10.9. . 190. .

10.11. 10.12.

10.13. 10.14.

10.15. 10.16.

10.17. 10.18.

10.19. 10.20.

11. Найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

11.1.

11.2.

11.3.

11.4.

11.5.

11.6.

11.7.

11.8.

11.9.

11.10.

11.11.

11.12.

11.13.

11.14.

11.15.

11.16.

11.17.

11.18.

11.19.

11.20.

12. Дан степенной ряд . При заданных значениях a и b написать первые три члена ряда, найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах интервала.

12.1. 12.2.

12.3. 12.4.

12.5. 12.6.

12.7. 12.8.

12.9. 12.10.

12.11. 12.12.

12.13. 12.14.

12.15. 12.16.

12.17. 12.18.

12.19. 12.20.

Решение типовых задач

Контрольная работа № 1

Задача № 1. Даны вершины треугольника АВС: А(–4; 8), В(5; –4), С(10; 6).

Найти: 1) длину стороны АВ;

2) уравнения сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты;

3) угол А;

4) уравнение высоты СD и ее длину;

5) уравнение окружности, для которой высота СD является диаметром.

Решение. 1. Расстояние между точками и определяется по формуле:

. (1)

Подставив в эту формулу координаты точек А и В, имеем:

.

2. Уравнение прямой, проходящей через точки и , имеет вид:

. (2)

Подставив в (2) координаты точек:

Для нахождение углового коэффициента прямой АВ разрешим полученное уравнение относительно у: . Отсюда . Подставив в формулу (2) координаты точек А и С, получим уравнение прямой АС.

Отсюда .

3. Угол между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых равны и , определяется по формуле:

. (3)

Угол А, образованный прямыми АВ и АС, найдем по формуле (3), подставив в нее , .

,

4. Так как высота перпендикулярна стороне , то угловые коэффициенты этих прямых обратны по величине и противоположны по знаку, т.е.

.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном угловым коэффициентом направлении, имеет вид:

. (4)

Подставив в (4) координаты точки С и , получим уравнение высоты :

. (5)

Для нахождения длины определим координаты точки , решив систему уравнений (АВ) и ():

откуда , то есть .

Подставив в формулу (1) координаты точек С и , находим:

.

5. Уравнение окружности радиуса с центром в точке имеет вид:

. (6)

Так как является диметром искомой окружности, то ее центр Е есть середина отрезка . Воспользовавшись формулами деления отрезка пополам, получим:

Следовательно, и . Используя формулу (6), получаем уравнение искомой окружности: .

На рис. 1 в декартовой прямоугольной системе координат изображен треугольник , высота , окружность с центром в точке Е.

Задача № 2. 1) Определить тип заданной кривой и построить её (для окружности указать центр, для эллипса и гиперболы – фокусы и эксцентриситет, для параболы – фокус и директрису):

x²+4y²=16.

Решение. Для того, чтобы определить тип кривой второго порядка (окружность, эллипс, гипербола или парабола), произведём преобразования заданного уравнения:

Получили каноническое уравнение эллипса:

– полуоси эллипса.

Найдём координаты его фокусов: F₁(-c;0) и F₂(c;0), где – половина расстояния между фокусами.

Итак, Тогда F₁(-3,5;0) и F₂(3,5;0) – фокусы эллипса.

– эксцентриситет эллипса:

Построим эллипс (рис. 2).

y

2

• •

-4 F₁ F₂ 4 х

-2

Рис. 2

2). Определить тип заданной кривой и построить её (для окружности указать центр, для эллипса и гиперболы – фокусы и эксцентриситет, для параболы – фокус и директрису):

Решение. Преобразуем заданное уравнение:

Получили каноническое уравнение гиперболы:

– полуоси гиперболы.

Найдём координаты её фокусов: F₁(-c;0) и F₂(c;0), где – половина расстояния между фокусами.

Итак,

Тогда F₁(-5,8;0) и F₂(5,8;0) – фокусы гиперболы.

Эксцентриситет гиперболы:

Построим гиперболу (рис. 3).

y

3

• •

F₁ -5 5 F₂ x

-3

Рис. 3.

3). Определить тип заданной кривой и построить её (для окружности указать центр, для эллипса и гиперболы – фокусы и эксцентриситет, для параболы – фокус и директрису).

y²=6x+12

Решение. Преобразуем данное уравнение:

Получили уравнение параболы:

Ветви параболы направлены вправо, вершина расположена в точке (x₀; y₀), т.е. в точке (-2;0).

Для построения параболы её уравнение приведём к простейшему (каноническому) виду. Для этого произведём параллельный перенос системы координат:

Тогда в новой системе координат X′O′Y′, где О′(-2;0) – начало координат, уравнение параболы принимает канонический вид:

Найдём координаты фокуса и уравнение директрисы: – фокус, – уравнение директрисы.

Итак, 2p=6, значит, р=3. Тогда F(1,5; 0) и х= -1,5.

Строим параболу в системе координат X′O′Y′ (рис.4).

y

Y^′

р

O^′ F x(X^′)

Рис.4

Задача № 3. Даны координаты трех точек: А(3; 0; –5), В(6; 2; 1), С(12; –12; 3).

Требуется:

1) записать векторы и в системе орт и найти их модули;

2) найти угол между векторами и ;

3) составить уравнение плоскости, проходящей через точку С перпендикулярно вектору .

Решение. 1) Если даны точки и , то вектор через орты выражается следующим образом:

.

Подставляя в эту формулу координаты точек А и В, имеем:

.

Аналогично

.

Модуль вектора вычисляется по формуле

.

Подставляя в формулу найденные ранее координаты векторов и , находим их модули:

,

.

2) Косинус угла , образованного векторами и , равен их скалярному произведению, деленному на произведение их модулей

.

Так как скалярное произведение двух векторов, заданных своими координатами, равно сумме попарных произведений одноименных координат, то

.

Тогда

.

3) Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , имеет вид

.

По условию задачи искомая плоскость проходит через точку перпендикулярно вектору . Подставляя , получим:

– искомое уравнение плоскости.

Задача № 4. Данную систему уравнений решить методом Крамера (с помощью определителей):

Решение. Вычислим определитель системы Δ по правилу «треугольников»:

(a₁₁ a₂₂ a₃₃ + a₂₁ a₃₂ a₁₃+ a₁₂ a₂₃ a₃₁) – ( a₃₁ a₂₂ a₁₃+ a₃₂ a₂₃ a₁₁+ a₂₁ a₁₂ a₃₃).

Итак,

Δ≠0система имеет единственное решение, которое находим по формулам Крамера:

Определители получаем заменой соответствующего столбца определителя Δ столбцом свободных членов системы.

Вычислим определители

Таким образом,

Сделаем проверку, подставив найденное решение в каждое уравнение данной системы:

– верно.

Ответ: (3;0;-2).

Задача № 5. Вычислить пределы:

а) б) в)

Решение. а) Подстановка предельного значения аргумента х= -3 приводит к неопределенному выражению вида .

Для устранения этой неопределенности разложим числитель и знаменатель дроби на множители и сократим дробь на множитель . Такое сокращение возможно, так как множитель отличен от нуля при :

б) При х→∞ числитель и знаменатель дроби стремятся к ∞.

Тогда получаем неопределённость вида которая раскрывается по следующему правилу: предел отношения двух бесконечно больших функций, являющихся многочленами, равен пределу отношения их слагаемых со старшей степенью переменной.

Итак,

в) Для раскрытия неопределённости вида , содержащей тригонометрические функции, воспользуемся эквивалентными функциями: