2. Бином Ньютона

Формула бинома Ньютона позволяет любой двучлен (бином) возвести в натуральную степень. Эта формула имеет вид:

(1.10)

или сокращенно

В разложении бинома n + 1 членов. Так как , то

коэффициенты членов разложения, одинаково удаленных от начала и конца, равны между собой. При получаем формулу для суммы биномиальных коэффициентов:

(1.11)

Обобщением формулы бинома Ньютона является

полиномиальная формула:

(1.12)

где и суммирование ведется по всем наборам .

В частности:

Итак,

. (1.13)

3. Формула разложения разности n-ых степеней

(1.14)

4. Метод математической индукции

Для вывода обобщающих формул, как правило, используют метод математической индукции.

Схема-алгоритм метода математической индукции:

1.Проверить справедливость доказываемой формулы для начального значения n (это может быть 0 , 1 , 2 , . . . ) .

2.Предположить, что формула справедлива при

3.Доказать, что формула справедлива и при

5. Формула Тейлора

Формула Тейлора позволяет данную функцию y = f (x) представить в виде многочлена со счетным числом слагаемых по степеням x: (1.15)

Формулы Тейлора для некоторых функций.

Следует помнить, что применять формулы (1.15), (1.16) или 1-6 можно для функции только в случае, если при .

Упражнения к § 3.1 Комбинаторика

3.1. Вычислить:

3.2. Решить уравнения и неравенства:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

3.3. Доказать: 1) ,

2)

3) 4)

3.4. Сколько пятизначных чисел с неповторяющимися цифрами можно составить из пяти цифр:0,1,2,3,4?

3.5. Сколько различных четырехзначных чисел, делящихся на 4, можно составить из цифр1,2,3,4,5, если цифры в числе:

а) могут повторяться, б) не повторяются?

3.6. В ящике имеется 7 красных и 5 черных шаров. Сколькими способами можно выбрать из ящика 3 красных и 2 черных шара?

3.7. В вазе 10 красных и 6 белых гвоздик. Сколькими способами можно составить букет из 4-х гвоздик так, чтобы число красных гвоздик в букете было не меньше белых?

3.8. Из 10 различных цветков составляется букет, содержащий не менее трех цветков. Сколькими способами это можно сделать?

3.9. В 12-ти этажном доме на первом этаже в лифт садится 9 человек. Известно, что они выйдут группами в 2, 3 и 4 человека на разных этажах. Сколькими способами они это могут сделать, если на 2-м этаже лифт не останавливается?

Бином Ньютона

3.10. Разложить по формуле бинома Ньютона:

а) б) , в) , г) .

3.11. Решить уравнения:

1) , 2) ,

3) , 4)

Разложение двучлена на множители

3.12. 1) Сократить дробь и вычислить при х=1,

2) сократить дробь и вычислить при a=b.

Метод математической индукции

3.13. Доказать тождества:

1. 

2. ,

3. ,

4. ,

5. ,

6. 

3.14. Доказать неравенства:

1. 

2. 2)

3)

4)

5)

6)

3.15. Доказать делимость:

1) 2)

2. 3)

3.16. Известно, что целое число. Доказать, что

также целое число.

3.17. Доказать, что выражение , где простое число, делится на р (малая теорема Ферма).

Формула Тейлора

3.18. Разложить по степеням х по формуле Тейлора функции: 1) 2) .

3.19. Вычислить приближенно:

1) с точностью 0,0001,

2) с точностью 0,001, 3)с точностью 0,001.