§ 2.2. Предел функции. Методы вычисления предела

1. Определение предела функции

1) Число а называется пределом функции при , если для такое, что для , для которых , выполняется неравенство . Пишут так: .

2) Число а называется левосторонним пределом функции f(x) при (слева), если для такое, что для , для которых , выполняется неравенство .

3) Число а называется правосторонним пределом функции f(x) при (справа), если для такое, что для , для которых , выполняется неравенство .

4) Односторонние пределы удобно обозначать так:

.

Необходимое и достаточное условие существования предела с помощью односторонних пределов можно записать так:

.

5) Предел на бесконечности (при ).

Число a называется пределом функции f (x) при (или , если для такое, что для , для которых , выполняется неравенство .

2. Свойства предела функции

1. Предел линейной комбинации

.

2. Предел произведения .

3. Предел частного

,

если пределы существуют и .

3. Методы вычисления предела функции

Нахождение предела функции следует начинать с вычисления значения функции в точке x₀. Если f(x₀) равно конечному числу или , то предел найден. Здесь полезно пользоваться следующими символическими

равенствами:, , ,

при a>1 , .

1.Неопределенность (в случае отношения многочленов рассматривалась в §1. Напомним еще раз:

(n,m >0)

2. Неопределенность .

Случай отношения многочленов.

Если , то P_n(x) и Q_n(x) делятся на xx₀. Можно числитель P_n(x) и знаменатель Q_m(x) разделить на (xx₀) или многочлены разложить на множители и сократить нулевой множитель xx₀.

3. Неопределенность .

Случай отношения иррациональных выражений.

В этом случае, как правило, стараются избавиться от иррациональности и после чего сокращают нулевой множитель xx₀.

4. Неопределенность () следует преобразовать в

неопределенность .

5. Неопределенность .

Здесь под единицей подразумевается переменная, стремящаяся к 1, а под переменная, стремящаяся к .

Известен второй замечательный предел

или ,

где е иррациональное число , основание натурального логарифма .

Более удобным при вычислении неопределенности являются следствия из второго замечательного предела:

, .

Упражнения к § 2.2

Найти пределы

2.61.		2.62.
2.63.		2.64.
2.65.		2.66.
2.67.		2.68.
2.69.		2.70.
2.71.		2.72.
2.73.		2.74.
2.76.
2.77.
2.78.
2.79.	2.80.
2.81.	2.82.
2.83.	2.84.
2.85.	2.86.
2.87.	2.88.
2.89.	2.90.
291.	2.92.*
2.93.*	2.94.*
2.95.	2.96.
2.97.	2.98.
2.99.	2.100.
2.101.	2.102.
2.103.	2.104.
2.105.	2.106.
2.107.	2.108.
2.109.	2.110.