§ 3. Методы построения графиков функций Графики некоторых функций
Если данную функцию можно представить в виде суммы элементарных функций, то график можно построить методом сложения графиков слагаемых функций.
Пример
1. Построить
график функции
.
Решение.
Представим функцию в виде суммы
.Строим
графики слагаемых функций
.
На рис.2 они изображены пунктирными линиями.
Графики
функций
и
пересекаются
в одной точке (1;
1).
Так как при
,
то
и
и, следовательно, при
график
данной функции расположен ниже графиков
слагаемых функций. При
и, следовательно, график данной функции
расположен между
прямой
и гиперболой
.
График пересекает
ось
OX
в точке (
1;0).
При
график асимптотически приближается к
прямой
.
При
(справа) график приближается к ветви
гиперболе
.
При
(слева) график приближается к вертикальной
асимптоте
и ветви гиперболы, оставаясь между ними.
При
график приближается к прямой
.
Методом сложения графиков построим графики гиперболических функций.
Пример
2.
Гиперболический синус
.
Решение.
Имеем:
.
нечетная
функция. Shx
принимает
любые значения, причем sh0
=0 (рис.3).
Пример
3.
Гиперболический косинус
.
Решение.
Имеем:
.
Т.к.
,
то
и,
следовательно,
четная
функция (рис.4).
Пример 4.
Гиперболический тангенс
.
Решение. Имеем:
.
,
нечетная
функция.
Т
ак
как
,
то
.
.
Следовательно, y
= 1 и y
=
1
– горизонтальные асимптоты (рис.5).
Пример 5. Гиперболический котангенс y = cthx.
Решение. Имеем:
.
.
О
чевидно,
нечетная
функция. y
= 1 и y
=
1
– горизонтальные асимптоты, x
= 0
вертикальная
асимптоты. График представлен на рис.6.
Отметим
формулы, связывающие гиперболические
функции
Некоторые функции, примыкающие к элементарным
1.
Функция сигнум (знак)
у
1
0 х
-1
Рис. 7
2.
Целая
часть числа (антье):
.
Это наибольшее целое число, не большее
данного (рис 8). Отметим, что
,
т.к. 2,34 = 2 + 0,34,
,
т
.к.
–2,34 = - 3 + 0,66.
3.
Дробная
часть числа
(рис
9.). Напомним, что дробная часть числа
есть неотрицательное число, меньшее
единицы:
,
,
.
Дробная
часть
–
периодическая функция с периодом Т =
1.Очевидно, что
.
Упражнения к § 3
Построить графики функций
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
3.8.
3.9.
3.10.
3.11.
3.12.
3.13.
3.14.
3.15.
3.16.
3.17.
3.18.
3.19.
3.20.
3.21.
3.22.
3.23.
3.24.
3.25.
3.26.
3.2.7.
3.28.
3.29.
3.30.
3.31.
3.32.
3.33.
3.34.
3.35.
3.36.
3.37.
3.38.
3.39.
3.40.
3.41.
3.42.
3.43.
3.44.
3.45.
3.46.
3.47.
3.48.
3.49.
3.50.
3.51.
3.52.
3.53.
3.54.
3.55.
3.56.
3.57.
3.58.
3.59.
3.60.
3.61. | x – y | + | x + y | = 1, 3.62. | x + 2y | + | x – 2y | = 2.
3.63. y = { x – 1/3} , 3.64. y = { 3 – x/2 } .
3.65. min ( x, y ) = 1, 3.66. max ( x, y ) = 1.
3.67. min ( x2, y ) = 1, 3.68. max ( | x |, | y | ) = 1.
3.69. min ( x, y3) = 1, 3.70. max ( x + y, x - y) = 1.