4. Производные функций, заданных неявно
Пусть
функция задана неявно
(1)
и
функция
от х.
Для
нахождения первой производной
следует
равенство (1) продифференцировать по х
и полученное равенство решить как
уравнение относительно
или можно воспользоваться формулой
.
Найти
и
для неявно заданных функций(61 – 64):
2.287.
.
2.288.
.
2.289.
2.290.
.
2.291.
.
Найти
.
§ 2.6. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя
1. Неопределенности и .
Правило Лопиталя: Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных, если последний предел существует.
Буква
над знаком равенства означает, что для
вычисления предела применяется правило
Лопиталя. В этих формулах х
может стремиться и к бесконечности
.
Если после применения правила Лопиталя
неопределенность
или
сохраняется, то следует применить еще
раз правило Лопиталя.
2. Другие неопределенности
а)
Неопределенность
приводится к виду
с помощью равенства
или к виду
с
помощью
равенства
.
б)
Неопределенность
приводят с помощью преобразования
к виду
,
если
.
Если же
,
то предел равен
(или
).
в)
Неопределенности
или
приводятся к вышерассмотренным с помощью
преобразования:
Неопределенность
также можно раскрывать с помощью
последнего преобразования, но лучше
пользоваться формулами, приведенными
в §2.
Упражнения к § 2.6
Используя правило Лопиталя и эквивалентность, найти пределы.
|
2.292.
|
2.293.
|
|
|
2.294.
|
2.295.
|
|
|
2.296.
|
2.297.
|
|
|
2.298.
|
|
|
|
2.299.
|
||
|
2.300.
|
2.301.
|
|
|
2.302.
|
2.303.
|
|
|
2.304.
|
2.305.
|
|
|
2.306.
|
2.307.
|
|
|
2.308.
|
2.309.
|
|
|
2.310.
|
2.311.
|
|
|
2.312.
|
2.313. |
|
|
2.314.
|
2.315
|
|
|
2.316
|
2.317.
|
|
§ 2.7. Применение формулы Тейлора при вычислении предела функции
Формула
Тейлора позволяет данную функцию
представить в виде многочлена по степеням
х,
имеющего счетное число слагаемых (ряда)
или
многочлена по степеням
:
.
При
для (4.1.) или
для (4.2.) эти равенства можно записать
так:
,
или так:
,
где через
обозначается
бесконечно малая величина более высокого
порядка, чем
остаток
формулы Тейлора.
Формулы
Тейлора часто применяют для приближенного
вычисления значений функции и
указывает степень точности вычисления.
Формулы Тейлора для основных элементарных функций:
10.
11.
12.
Следует
помнить, что применять формулы можно
для функции
только в случае, если
при
.