§ 2.5. Производная. Дифференцирование функций
1. Производные функций, заданных явно
Таблица производных
--------------------------------------------------------------------------- Правила дифференцирования
,
,
.
-----------------------------------------------------------------------------------
Производная сложной функции равна произведению производных всех составляющих ее функций.
Пример:
.
Применены формулы производных степени, синуса и логарифма
-----------------------------------------------------------------------------------
Упражнения к § 2.5
Найти первую производную:
2.227.
а)
,
б)
,
в)
,
г)
.
2.228.
а)
,
б)
,
в)
,
г)
.
2.229.
а)
,
б)
,
в)
,
г)
.
Найти производные сложных функций:
2.230.
.
2.231.
.
2.232.
.
2.233.
а)
,
б)
.
2.234
а)
,
б)
,
2.235.
а)
,
б)
.
2.236.
а)
,
б)
.
2.237.
a)
,
б)
,
в)
,
г)
.
2.238.
а)
,
б)
.
2.239.
а)
,
б)
.
2.240.
а)
,
б)
.
2.241.
а)
,
б)
.
2.242.
а)
,
б)
.
Используя
метод логарифмического дифференцирования
или формулу производной степенно – показательной функции
,
найти производные следующих функций:
2.243.
а)
,
б)
.
2.244.
а)
,
б)
.
2.245.
а)
,
б)
.
2.246.
а)
,
б)
.
2.247.
а)
,
б)
.
2.248.
а)
,
б)
.
2.249.
а)
,
б)
.
2.250.
а)
,
б)
.
2.251.
а)
,
б)
.
Найти производную и построить ее график
2.252.
2.253.
2. Производные высших порядков явных функций
Производной
п-го
порядка называется
производная от производной п
-1 - го
порядка:
.
Например,
.
Производные п -го порядка для некоторых функций.
1) Степенная функция
,
при
.
2) Тригонометрические функции
.
3) Логарифмическая функция
.
4) Показательная функция
,
.
Производная п -го порядка для произведения двух функций (формула Лейбница)
Найти производные указанного порядка
2.254.
а)
,
б)
.
2.255.
а)
,
б)
.
2.256.
а)
,
б)
.
2.257.
.
2.258.
2.259.
2.260.
2.261.
2.262.
2.263.
2.264.
2.265.
2.266.
2.267.
Найти производные п-го порядка:
2268.
.
2.269.
.
2.270.
.
2.271.
.
2.272.
.
2.273.
.
Используя формулу Лейбница, найти производные указанного порядка
2.274.
найти
.
2.275.
найти
.
2.276.
найти
.
2.277.
найти
.
2.278.
найти
.
3. Производные функций, заданных параметрически
Если
функция задана параметрически
,
то
первая
производная для нее определяется по
формуле
,
вторая производная определяется по формуле
.
Найти первую и вторую производные для функций, заданных параметрически:
2.279.
.
2.280.
.
2.281.
.
2.282.
2.283.
.
2.284.
.
2.285.
.
2.286.
.