§2.4. Непрерывность. Точки разрыва. График функции

1. Непрерывность функции (определения)

1. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке , если предел в точке x₀ равен значению функции в этой точке, т.е.

2. На языке это означает: для такое, что неравенство выполняется для всех х, для которых верно неравенство

3. Если и , то f(x) непрерывна в точке x₀, если , т.е. бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

4. На практике удобно пользоваться следующим критерием. Для непрерывности функции y=f(x) в точке x₀ необходимо и достаточно, чтобы

1) , т.е. существовало значение f ( x₀);

2) существовали односторонние пределы и ;

3) все эти три числа равны между собой, т.е.

2. Понятие о точках разрыва и их классификация

Различают три типа точек разрыва.

1) Точки устранимого разрыва

Односторонние пределы существуют и равны между собой, но не совпадают со значением функции или значение функции не существует, т.е.

.

2) Точки разрыва 1-го рода (конечный разрыв)

Односторонние пределы конечные, но не равные ,

называется скачком функции в точке х₀.

3) Точки разрыва 2-го рода (бесконечный разрыв)

Если хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности или не существует, то х₀точка разрыва 2-го рода. Все вышесказанное относится к точке х₀, не являющейся границей области определения функции. Если х₀ граница области определения, то в этой точке рассматривается односторонняя непрерывность.

3. Об асимптотах графика функции

Напомним, что асимптота прямая линия, к которой бесконечно приближается график функции при удалении в бесконечность, т.е. асимптота, как бы касательная, для которой точкой касания является бесконечно удаленная точка.

Вертикальная асимптота

Известно, что если , то вертикальная асимптота. Следовательно, каждой точке бесконечного разрыва соответствует вертикальная асимптота. Если оба односторонних предела равны бесконечности, то асимптоту будем называть двусторонней; если же только один односторонний предел равен , то асимптоту будем называть односторонней.

Горизонтальная асимптота

Если , то горизонтальная асимптота. При этом, если , то будем считать двусторонней асимптотой, а если или , то будем считать односторонней (правой или левой) асимптотой.

Наклонная асимптота

Параметры (k,b) наклонной асимптоты, если она существует,

определяются по формулам: , .

И здесь, в зависимости от того, существуют ли рассмотренные пределы при или функция может иметь одну или две асимптоты (левую и правую).

Упражнения к § 2.4

Исследовать на непрерывность и построить графики

функций (2.181- 2.210).

2.181.	2.182.
2.183.	2.184.
2.185.	2.186.
2.187.	2.188.
2.189.	2.190.
2.191.	2.192.
2.193.	2.194.
2.195.	2.196.
2.197.	2.198.
2.199.	2.200.
2.201.	2.202.
2.203.	2.204.
2.205.	2.206.
2.207.	2.208.
2.209.	2. 210.

В задачах (2.211-2.220) найти точки разрыва и устранить разрыв, если это возможно.

2.211.	2.212.
2.213.	2.214.
2.215.	2.216.
2.217.	2.218.
2.219.	2.220.

В задачах (2.221-2.226) подобрать параметры так, чтобы функция была непрерывной.

2.221.

2.222.

2.223.

2.224.

2.225. 2.226.