Динамика Задание д1

В начальный момент времени t = 0 материальная точка М находилась на стержне в положении, определяемом координатой S₁ (взять из таблицы К1); ей сообщена начальная скорость V₀ = 5,0 м/с, направленная к точке В. Двигаясь вдоль стержня материальная точка ударяется о преграду в точке В и, отскакивая от нее, начинает движение в обратном направлении. Считая удар о преграду абсолютно упругим (скорость точки до удара V₁ равна по величине скорости точки после удара V₂, т.е. ), определить время, спустя которое после начала движения, точка М (при движении вниз) будет совпадать с точкой А, а также скорость ее в этом положении. Коэффициент трения скольжения при движении материальной точки вдоль стержня АВ равен f = 0,35. Угол  во все время движения считать постоянным и равным значению .

Решение

Задание Д1 относится ко второй (обратной) задаче динамики, решение которой осуществляется путем интегрирования дифференциальных уравнений движения материальной точки.

Рассмотрим движение материальной точки вдоль стержня АВ вверх.

Точка М совершает вдоль стержня прямолинейное движение, для его описания выберем ось х₁, начало которой совместим с точкой А. Покажем силы действующие на материальную точку в ее произвольном положении на траектории: сила тяжести G, нормальная реакция N и сила трения F_тр.

Составим дифференциальное уравнение движения точки вдоль оси Ах (в левой части уравнения записывается произведение массы точки на вторую производную от выбранной координаты по времени, в правой части уравнения – сумма проекций сил на выбранную ось)

.

Выразим силы через массу точки и ускорение свободного падения

, .

Для нахождения нормальной реакции N спроецируем силы на ось Ау₁, а, так как вдоль этой оси движения не происходит, имеет место уравнение равновесия сил

, откуда .

Подставив значения сил в дифференциальное уравнение движения, после сокращений, получаем

= – = =

– 7,878 м/с².

В результате имеем

– 7,878 м/с².

Интегрируем данное дифференциальное уравнение. Первый и второй интегралы имеют соответственно вид

,

,

где С₁ и С₂ – постоянные интегрирования, которые находятся с помощью начальных условий. Время будем отсчитывать от нулевого значения, начиная с момента начала движения точки. Начальные условия имеют вид

, м/с, см = 0,3 м.

Подставляя начальные условия сначала в первый, а затем во второй интегралы, найдем , . Переписав первый (уравнение скорости) и второй (уравнение движения точки) интегралы с учетом найденных постоянных интегрирования, получим

,

,

Имея зависимость , найдем время движения материальной точки от положения М₀ до точки В (в этот момент времени координата х₁ = АВ = 140 см = 1,4 м). Для нахождения t решаем квадратное уравнение , которое имеет два положительных, действительных корня

= ; с, с.

В качестве искомой величины выбираем время с, так как анализ рассматриваемого физического процесса позволяет сделать вывод о том, что время с – это время, за которое материальная точка М, двигаясь вдоль прямой АВ (не заканчивающейся в точке В), достигает наивысшего положения, а затем под действием силы тяжести начинает движение вниз и, двигаясь вниз, оказывается в точке В.

Подставив в уравнение скорости время с, найдем скорость материальной точки при ударе о преграду В

= 2,77 м/с,

В соответствии с условием задания найденная скорость = 2,77 м/с должна быть принята в качестве начальной скорости для движения точки вниз.

Переходим к рассмотрению движения материальной точки после удара о преграду в точке В вниз. Выполним рисунок, на котором покажем ось х₂, направленную из точки В вниз. Изобразим действующие на материальную точку силы.

Составим дифференциальное уравнение движения точки

,

откуда после преобразований получим

= = = 1,93 м/с².

Первый и второй интегралы от данного дифференциального уравнения имеют соответственно вид

,

,

где С₃ и С₄ – постоянные интегрирования. Время будем отсчитывать от нулевого значения с момента начала движения мат. точки от ее начального положения в точке В. Начальные условия имеют вид

, м/с, .

Подставляя начальные условия сначала в первый, а затем во второй интегралы, найдем, что , . Переписав первый (уравнение скорости) и второй (уравнение движения точки) интегралы, с учетом найденных постоянных интегрирования, получим

,

.

Найдем время движения материальной точки от положения В до А (в этот момент времени координата х₂ = АВ = 140 см = 1,4 м). При решении квадратного уравнения также имеем два корня

= ; с, < 0,

но так как время отрицательным (t < 0) быть не может, то корень < 0, не рассматриваем.

Подставив в уравнение скорости время с, найдем скорость материальной точки М в тот момент времени, когда она займет на стержне положение совпадающее с точкой А

= 3,615 м/с.

Общее время движения точки = 0,283 + 0,438 = 0,721 с.