Задание к2

Полагая  = (t) и S = S₁ = const и рассматривая движение стержня АВ как плоскопараллельное движение, для момента времени t = t₁ определить:

1. скорости всех обозначенных на рисунке точек стержня АВ с помощью мгновенного центра скоростей (МЦС) и угловую скорость стержня АВ;

2. ускорение точки М и угловое ускорение стержня АВ.

Решение

Построим механизм в масштабе для заданного момента времени (t = сек,  = ).

Мгновенный центр скоростей твердого тела находится на пересечении перпендикуляров, проведенных к векторам скоростей точек тела. Для стержня АВ известно направление векторов скоростей двух точек А и D (под точкой D понимается точка стержня, совпадающая с шарниром). Точка А, кроме стержня, принадлежит также кривошипу ОА, поэтому ; вектор направлен вдоль АВ. Это позволяет построить М.Ц.С., который на рисунке обозначен буквой Р.

Для определения величины скорости точки М используем соотношение

, откуда .

Величину скорости точки А легко найти, считая ее принадлежащей кривошипу ОА, который вращается вокруг неподвижной оси с угловой скоростью = = 1,395 с^-1.

55,82 см/с = 0,5582 м/с.

Для определения скоростей точек тела М, D, В соединим эти точки с мгновенным центром скоростей тела Р и определим расстояния от этих точек до М.Ц.С.

Как следует из рисунка, расстояние АР = 2R = 80 см. Расстояние МР можно определить или с помощью измерений на рисунке и масштаба, или, как в данном случае, с помощью вычислений из прямоугольного треугольника МРD

, где DР = R = 40 см (треугольник ОРD равносторонний), МD = АD – АМ, = = 40∙1,73 = 69,28 см. МD = 69,28 – 30 = 39,28 см. = 56,06 см.

Вычислим скорость точки М

= = 39,12 см/с = 0,3912 м/с (наблюдается полное совпадение данного результата с результатом, полученным в п.3 задания К1).

Вектор направлен перпендикулярно прямой, соединяющей точки М и Р.

Величина скорости точки D стержня находится из соотношения

, откуда = = 27,91 см/с = 0,2791 м/с.

Величина скорости точки В находится из соотношения

, откуда . Расстояние ВР можно определить или с помощью измерений на рисунке, или, как в данном случае, - с помощью вычислений из прямоугольного треугольника МРВ. ВР = , где DВ = АВ – АD = 140 – 69,28 = 70,72 см. Тогда ВР = = 81,25 см. Вычислим скорость точки В

= 56,69 см/с = 0,5669 м/с.

Вектор направлен перпендикулярно прямой, соединяющей точки В и Р. Покажем найденные вектора скоростей точек на рисунке.

Скорости точек тела можно определять также с помощью построения плана скоростей или на основе использования теоремы о проекциях скоростей двух точек тела на прямую соединяющую эти точки. Для примера рассмотрим применение теоремы о проекциях скоростей двух точек тела на прямую соединяющую эти точки, согласно которой имеем

пр_АD= пр_АD или ,

откуда = 55,82∙0,5 = 27,91 см/с = 0,2791 м/с.

Угловая скорость тела при его плоскопараллельном движении находится как скорость любой точки тела деленная на расстояние от этой точки до М.Ц.С.

ω ==…, следовательно, в данном примере для нахождения угловой скорости стержня АВ можно использовать, например, формулу

= = 0,697 с^-1.

В соответствии с показанными на рисунке направлениями векторов скоростей точек, угловая скорость стержня будет направлена против часовой стрелки.

Ускорение точки М определим, раскладывая плоскопараллельное движение прямой АВ на поступательное вместе с полюсом А и вращательное движение точки М вместе с телом вокруг полюса

.

Используем графо-аналитический метод решения уравнения, для чего будем вычислять величины ускорений и строить вектора ускорений в масштабе на чертеже.

Величину ускорения полюса А вычислим, считая точку А принадлежащей кривошипу ОА. Тогда , где , .

= 1,395 с^-1, = 0.

При вычислениях получаем следующие значения

= 77,9 см/с² = 0,779 м/с², .

Следовательно, величина =77,9 см/с² = 0,779 м/с², а вектор по направлению совпадает с вектором и направлен от точки А к точке О. Постоим в масштабе вектор на чертеже

Величина вектора центростремительной составляющей ускорения точки М во вращательном движении тела вокруг полюса А находится по формуле

. Подставляя значения величин, получим

= 14,57 см/с² = 0,1457 м/с². Вектор направлен от точки М к полюсу А; изобразим этот вектор на чертеже

Величина вектора вращательной составляющей ускорения точки М во вращательном движении тела вокруг полюса А находится по формуле

,

где ε_АВ – угловое ускорение стержня АВ. Его можно вычислить, так как известно изменение с течением времени угла между прямой АВ и осью Ох, т.е. (смотри на первом рисунке задания К1) угла ψ = = . Поэтому = = = 0,697 с^-1, что совпадает с полученным ранее результатом, а угловое ускорение = 0, следовательно, = 0. Получаем .

На рисунке вектор переносим в точку М, из конца этого вектора откладываем в масштабе вектор , а вектор находится как вектор, соединяющий точку М и конец вектора

Измерив длину вектора на чертеже, с помощью масштаба получаем

а_М = 65 см/с² = 0,65 м/с².

Проверим результат, полученный с помощью измерений, вычислениями. Для этого спроецируем векторы входящие в уравнение на направления центростремительной и вращательной (если ли она не была бы равна нулю) составляющих. Вектор направлен вдоль прямой АВ, вектор перпендикулярен АВ.

,

,

где α – неизвестный угол между вектором ускорения и прямой АВ. Угол при t = с равен 30⁰. Исключив из рассмотрения неизвестный угол , получим

= = 65,67см/с² = 0,6567 м/с².

Это подтверждает полученный ранее результат.