Колебательное движение материальной точки.

Цель работы: приобретение теоретических знаний о колебательном движении материальной точки над действием силы, пропорциональной расстоянию.

Задача Д2: груз массой m присоединили к концу недеформированной пружины и отпустили без начальной скорости, в результате чего он стал совершать колебательные движения. При статическом равновесии длина пружины изменилась на . Определить, используя данные в таблице Д2 и на рис. Д2.0-Д2.9:

1. Уравнение движения груза

2. Амплитуду и период колебания

Трением и массой пружины пренебречь.

Таблица Д2.

Последняя цифра зачетной книжки

№ пп	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
m, кг	2	3	1	4	2	3	5	1	3	2
, см	10	20	15	30	10	15	10	20	30	25

Указания: задача Д2 относится к колебанию материальной точки. Для его решения необходимо: составить дифференциальное уравнение 2-го порядка, проинтегрировать данное уравнение, учтя начальные условия.

Предпоследняя цифра зачетной книжки

Рис. Д2.0	45° Рис. Д2.1
60° Рис. Д2.2	45° Рис. Д2.3
Рис.Д2.4	45° Рис. Д2.5
30° Рис. Д2.6	Рис. Д2.7
45° Рис. Д2.8	30° Рис. Д2.9

Пример Д2: груз массой 1 кг присоединили к концу недеформированной пружины и отпустили без начальной скорости, в результате чего он стал совершать колебательные движения. При статическом равновесии пружина удлинилась на 10 см. определить:

1. Уравнение движения груза;

2. Амплитуду и период колебания;

Трением и массой пружины пренебречь.

Решение:

Отметим на рисунке Д2 положения: недеформированной пружины (1), груза, в котором он остановится при статическом равновесии (2),груза в произвольный момент времени. Направим ось по наклонной плоскости. За начало отсчета т.О примем положение груза при статическом равновесии.

Y

0

X

На груз действуют силы: – сила тяжести, – нормальная реакция опоры, – сила упругости пружины. Дифференциальное уравнение движения груза имеет вид , где , C – коэффициент жесткости пружины, – удлинение пружины. Таким образом, уравнение движения примет вид

;

.

В этом уравнении нам известен параметр С. Чтобы его найти, рассмотрим груз в положении статического равновесия ():

, откуда

.

Подставляя значения С, m, P в наше дифференциальное уравнение движения груза, получим: . Это линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Решается с помощью соответствующего характеристического уравнения: .

Общее решение данного уравнения имеет вид

,

Где С₁ и С₂ постоянные интегрирования. Для вычисления С₁ и С₂ найдем и используем начальные условия

,

.

Таким образом, уравнение движения груза имеет вид

Амплитуда колебания

Период колебания T найдем по формуле – период косинуса:

Ответ: ; ; .

Лабораторная работа№5.