1.4 Побудова нового (відбитого) симплексу
Координату нової вершини для відбитого симплексу шукають на прямій, яка проходить через найгіршу точку і центр ваги протилежної грані х(с), координати якого знаходять за формулою:
для
N2,
де k – номер найгіршої вершини симплексу, визначений у п.1.3.б.
для
N=2
(рисунок 3)
Рисунок 3. Графічне зображення нових симплексів у двовимірному просторі параметрів оптимізації
Рівняння прямої, яка проходить через х(h) і х(с):
х(λ) = х(h) + λ( х(с) – х(h))
де λ – довільне дійсне число.
Якщо:
λ – нового
симплексу не одержимо
λ=0, то х(H) = х(0)
λ=2, то х(H) = 2х(с) – х(0) – одержимо новий регулярний симплекс (симетричний до початкового).
При λ>2 одержимо видовжений симплекс.
При 1<λ<2 одержимо скорочений симплекс.
В методі Нелдера-Міда спочатку приймають λ=2 та обчислюють координати нового симетричного симплексу x(h).
1.5 Проведення експерименту по визначенню критерію у новій вершині відбитого симплексу та порівняння його значення з найгіршою та двома кращими точками початкового симплексу
Проводять експеримент – визначають значення критерію f(H) в точці x(Н).
Виконують порівняння значень критерію і отримують один із варіантів:
а) f(h) f(g) f(l) f(H)
б) f(h) f(g) f(H) f(l)
в) f(h) f(H) > f(g) f(l)
г) f(H) f(h) f(g) f(l)
1.6 Прийняття рішення про видовження/скорочення відбитого симплексу
а) Якщо f(h) f(g) f(l) f(H), то приймають λ=3 та обчислюють координати нового видовженого симплексу X(Н1).
Якщо f(H) f(H1), то приймають:
х(h) = х(g), f(h) = f(g);
х(g) = х(l), f(g) = f(l);
х(l) = х(H1), f(l) = f(H1),
інакше,
якщо f(H) < f(H1), то приймають:
х(h) = х(g), f(h) = f(g);
х(g) = х(l), f(g) = f(l);
х(l) = х(H), f(l) = f(H).
б) Якщо f(h) f(g) f(H) f(l), то приймають λ=1,5 та обчислюють координати нового стиснутого симплексу x(Н2).
Якщо f(h) f(g) f(H) > f(l) f(H2)
то приймають:
х(h) = х(g), f(h) = f(g);
х(g) = х(l), f(g) = f(l);
х(l) = х(H2), f(l) =f(H2),
інакше,
якщо f(h) f(g) f(H2) f(H) f(l), то приймають:
х(h) = х(g), f(h) = f(g);
х(g) = х(Н), f(g) = f(Н);
х(l) = х(l), f(l) = f(l).
в) Якщо f(h) f(H) f(g) f(l), або якщо f(H) f(h) f(g) f(l), то зменшують довжину ребра α, приймають х(0) = х(l) і повертаються до побудови нового регулярного сиплексу (п.1.4).
1.7 Перевірка умов зупинки пошуку
Ітерації пошуку продовжують доти, поки значення цільової функції у вершинах симплексу будуть відрізнятись незначно.
Критерієм є величина
,
де
.
Якщо σ<ε, де ε – задана величина, то всі значення функції близькі між собою і знаходяться поблизу точки мінімуму. У цьому випадку подальший пошук мінімуму припиняється, а за мінімум приймають точку з координатами x(l).
Якщо σ>ε, то будують наступний відбитий симплекс.
а
б
Рисунок 4. Переміщення та деформація симплексу в полі параметрів оптимізації при пошуку екстремуму для N=2
Рисунок 5. Блок-схема алгоритму пошуку мінімуму за методом Нелдера-Міда