Типовой расчет «Математический анализ»
З а д а ч а 1
Правило 1.
Чтобы вычислить
,
нужно вместо переменной х поставить
её предельное значение
.
Если
то
Если
то
.
Если
то
- неопределенность.
Правило 2.
Чтобы раскрыть неопределенность
в алгебраическом выражении, надо в
числителе и знаменателе выделить
множитель
,
который стремится к нулю, и на него под
знаком предела сократить.
Правило 3.
Если в числителе и знаменателе стоят
многочлены, то чтобы получить множитель
,
нужно многочлены разложить на множители.
Пример 1
При решении этой задачи необходимо знать формулы:
Вычислить предел
.Действительно:
.
Найдем корни
многочлена
по формуле
Тогда
;
.
Анологично
т.е
.
Контрольные варианты к задаче 1
Вычислить пределы функции:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
З а д а ч а 2
Пример 2
Вычислить
предел
.
В числителе и
знаменателе получаются нули за счет
сомножителя
,
который стремится к нулю при
.
Разложим многочлены на множители,
разделив их на
.
-
-
.
-
-
-
-
.
Замечание. При разложении многочлена в числителе можно было применить способ группировки и вынесения общего множителя, а в знаменателе найти корни, решив биквадратное уравнение.
Контрольные варианты к задаче 2
Вычислить пределы функций:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28.
|
|
|
|
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
З а д а ч а 3
При решении этой задачи необходимо знать формулы:
Пример 3
Вычислить
Найдем корни
многочлена по формуле
Тогда
;
.
По формуле :
имеем
Контрольные варианты к задаче 3
Вычислить пределы функций:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
З а д а ч а 4
Если при
и
,
то отношение
представляет собой неопределенность
.
В этом случае рекомендуется числитель
и знаменатель разделить почленно на
старшую степень переменной х.
Пример 15
Вычислить
предел
.
.