Тема 5. Интегральное исчисление

5.1. Первообразная и неопределенный интеграл

Определение: Первообразной функцией для данной функции f(x) называется функция F(x), если для любого x из области определения f(x) выполняется равенство F'(x)= f(x).

Определение: Неопределенным интегралом от функции f (x) называется множество {F(x) + C} всех первообразных функций для данной функции f(x), где C принимает все возможные числовые значения,

Обозначается

Обратимость операций дифференцирования и интегрирования

		Проверка
1. (kx)=k		=k
2. (x)=nx		==
3.=		(ln|x|+c)==
4.()=		(e)=+0=
5.=cos x		=sin x+0=sin x
6.=-sin x		(sin x+c) =cos x+0=cos x
7.Ошибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования.		+0=
8.		+0=
9.		+0=

5.2. Примеры решения задач

Задача 1. Найти интеграл

Решение. При нахождении интегралов, подынтегральные функции которых содержат степенные функции, необходимо помнить, что (по определению)

и знать следующие правила действия со степенями и корнями:

Здесь m и n – любые рациональные числа.

Преобразуем подынтегральную функцию : воспользуемся формулой сокращенного умножения и последующим почленным делением числителя на знаменатель.

Далее используем свойства неопределенного интеграла:

, и

табличные интегралы: ,,. Имеем:

.

Обращаем внимание на то, что в конце решения записываем одну общую постоянную С, не выписывая постоянных от интегрирования отдельных слагаемых.

Задача 2. Найти интеграл

Решение: Используем метод замены: пусть . Тогда . По правилам нахождения дифференциала и производной (см. тему 3) . Заменим переменные в интеграле:

(использовали правило интегрирования-вынесения постоянной за знак интеграла и табличный интеграл 6)

Тема 6. Элементы теории вероятностЕй

6.1. Понятие вероятности случайного события

Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений и событий, способных многократно повторяться при воспроизведении определенного комплекса условий.

Испытание – неопределяемое понятие, понимается как наблюдение того или иного явления. Событие – возможный исход того или иного испытания.

Определение1: Результат наблюдения или эксперимента, который при данном испытании может произойти, а может и не произойти, называется случайным событием.

Определение2: Событие, которое обязательно наступает при каждом испытании, называется достоверным.

Определение3: Событие, которое заведомо не может произойти, называется невозможным.

Определение4: Два события называются равносильными, если при каждом испытании они либо оба наступают, либо оба не наступают.

Определение5: События, которые не могут произойти одновременно в результате испытания, называются несовместными.

Определение6: Под множеством элементарных событий задачи понимают полное множество взаимоисключающих исходов эксперимента.

Пример: 1) Пусть эксперимент состоит в подбрасывании монеты. Два элементарных события: «выпадание орла» и «выпадание решки».

2) Пусть эксперимент состоит в подбрасывании кости. Шесть элементарных событий: выпадание единицы на верхней грани кости, выпадание двойки, тройки и т.д…

Определение7 (классическое определение вероятности): Вероятностью события называется число, равное отношению числа исходов испытания, благоприятствующих событию (m) к числу всевозможных исходов испытания (n). Обозначается: P(A)=, P – вероятность случайного события, A – само событие.

Пример: 1) Пусть эксперимент состоит в подбрасывании монеты. Два элементарных события: «выпадание орла» и «выпадание решки», значит n=2. Тогда вероятность события-«выпадание орла» равна P(A)=, где m=1.

2) Пусть эксперимент состоит в подбрасывании кости. Шесть элементарных событий: выпадание единицы на верхней грани кости, и т.д… Вероятность события «выпадание шести очков на грани кости» равна P(A)=, где m=1.

Определение 8. Событие (А и B), т. е. событие, состоящее в наступлении обоих событий А и B, называется произведением событий А и B и обозначается через

АB

Определение 9. Событие (А или B), т. е. событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А и B, называется суммой событий А и B и обозначается через

А + B

Теорема сложения вероятностей (для попарно несовместимых событий): вероятность того, что произойдет хотя бы одно из попарно несовместимых событий, равна сумме вероятностей этих событий P(A+B+ C) = P(A) + P(B) + P(C).

Теорема произведения вероятностей (для попарно независимых событий): вероятность того, что произойдут одновременно независимые события, равна произведению вероятностей P(A•B) = P(A) • P(B).