Тема 2. Элементы линейной алгебры

2.1. Понятие матрицы, операции над матрицами

Определение1: Матрицей размера называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Обозначается .

Операции над матрицами

Определение2: Произведением матрицы А на число λ называется матрица В= λА, элементы которой для .

Обозначается

Определение3: Суммой двух матриц А и В одинакового размера называется матрица С=А+В, элементы которой для , т.е. матрицы складываются поэлементно.

Обозначается

Примечание: Разность двух матриц определяется через предыдущие операции: умножение и сложение матриц: , т.е. матрицы вычитаются поэлементно.

Обозначается

Определение 4: Произведением матриц называется матрица , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы А на соответствующие элементы j-того столбца матрицы В.

Примечание: Операция умножения матрицы А на матрицу В определена, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.

Пример: Вычислить произведение матриц АВ, где

А=(1 2 3),

Найдем размер матрицы-произведения (умножение матриц возможно, так число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В):

.

2.2. Примеры решения задач

Задача 7.1 . В некоторой отрасли m заводов выпускают n видов продукции. Матрица задает объемы продукции на каждом заводе в первом квартале, матрица - во втором.

; .

Найти: а) объемы продукции; б) прирост объемов производства во втором квартале по сравнению с первым по видам продукции и заводам;

в) стоимостное выражение выпущенной продукции за полгода (в долларах), если λ –курс доллара по отношению к рублю.

Решение: а) Объемы продукции за полугодие определяются суммой матриц А и В, как суммой квартальных объемов продукции т.е.

.

б) Прирост во втором квартале по сравнению с первым определяется разностью матриц

Отрицательные элементы матрицы D показывают, что на данном заводе i объем производства j –го продукта уменьшился, положительные элементы матрицы D – увеличился, нулевые элементы матрицы – не изменился.

в) Произведение дает выражение стоимости объемов производства за квартал в долларах по каждому заводу и каждому предприятию. Таким образом, стоимостное выражение выпущенной продукции за полгода (в долларах): .

Задача 7.2. Предприятие производит n типов продукции, объемы выпуска заданы матрицей . Цена реализации единицы i-го типа продукции в j-м регионе задана матрицей , где k- число регионов, в которых реализуется продукция. Найти матрицу выручки С по регионам. Пусть , .

Решение: Выручка определяется матрицей , причем элемент матрицы С – выручка предприятия в j-том регионе (смотри пример произведения матриц выше):

Тема 3. Элементы векторной алгебры

3.1. Векторы на плоскости

Определение1: Вектором называется направленный отрезок.

Обозначается латинскими буквами со стрелкой наверху: .

Вектор, заданный парой (А, В) несовпадающих точек, обозначается символом . Точка А называется началом, а точка В – концом вектора.

Определение2: Длиной (модулем) вектора называется расстояние между его началом и концом.

Обозначается . Вектор , концы которого совпадают, называется нулевым вектором.

Пусть А , В Длина вектора находится по формуле .

Определение3: Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Обозначается символом . Таким образом, по определению,

.