Задачи для самостоятельного решения

2.10. Будет ли дифференцируемой функция

2.11. Показать, что функция дифференцируема и найти ее производную.

2.12. При каком значении функция дифференцируема?

2.13. При каком значении функция дифференцируема?

2.14. Найти аналитическую функцию , если

а) б) в) .

2.15. Найти коэффициент растяжения и угол поворота при отображении :

а) в точках

б) в точках .

ИНТЕГРАЛ ОТ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Интеграл от непрерывной функции комплексного переменного вдоль кусочно-гладкой дуги АВ вычисляется по формуле

.

Или, если т. е. – параметрические уравнения дуги АВ, ~ , ~ , то

Пример 9. Вычислить , если – окружность .

Решение.

y 0 1 x Рисунок 11

Для вычисления полученных криволинейных интегралов используем параметрические уравнения окружности (рис. 11).

Тогда

Иначе, уравнением окружности будет .

Тогда .

Если – аналитическая функция в односвязной области , то значение интеграла , взятого вдоль произвольной кусочно-гладкой дуги , принадлежащей области , не зависит от дуги , а определяется лишь положениями начальной и конечной точек этой дуги, и вычисление интеграла производится по формуле Ньютона-Лейбница:

,

где – какая-нибудь первообразная функция по отношению к .

Для нахождения первообразной функции по отношению к аналитической функции применяются обычные формулы интегрирования.

Пример 10. Вычислить .

Решение. .

Пример 11. Вычислить интеграл , где – верхняя половина окружности с центром единичного радиуса; направление обхода положительное ( – главное значение корня, получаемое из общей формулы при ).

Решение. .

y B 0 A x Рисунок 12

При .

При

Основная теорема Коши для односвязной области. Если функция аналитична в односвязной области , то интеграл от этой функции вдоль всякого кусочно-гладкого замкнутого контура , лежащего в , равен нулю.

Пусть – простой (несамопересекающийся) кусочно-гладкий замкнутый контур, – простые кусочно-гладкие замкнутые контуры, лежащие внутри , но вне друг друга. Если функция аналитична в многосвязной области, лежащей между контуром и контурами , и на этих контурах, то

.

(основная теорема Коши для многосвязной области).

Пример 12. Найти значение интеграла , если путь интегрирования не проходит через начало координат.

Решение. Если путь интегрирования не обходит начало координат

(рис. 13а), то .

y z 0 1 x а)	y z С m А 0 1 B x б)	y z С m А 0 1 B x в)
	Рисунок 13

Пусть путь интегрирования обходит один раз нулевую точку в положительном направлении (рис. 13б). Тогда (рис. 13в)

(рис. 13в);

y m A B 0 1 x Рисунок 14

(рис.14); , где – окружность , т. к. в области между двумя контурами и функция аналитическая.

Вычислим .

Тогда

Если путь интегрирования делает оборотов в положительном (или отрицательном) направлении около нулевой точки, то, очевидно, к значению прибавляется (или отнимается) число . Таким образом, при всяком

.

Если функция аналитична в области, лежащей внутри простого кусочно-гладкого замкнутого контура и на этом контуре, то для любой точки , лежащей внутри , справедливы формулы

(формула Коши),

(обобщенная формула Коши).

Пример 13. Вычислить интеграл ,

где 1) ; 2) .

Решение. 1) аналитична в круге . Используя формулу

y 0 4 x Рисунок 15

Коши, получаем .

2) Так как аналитична внутри области, ограниченной окружно-

y 0 x Рисунок 16

стью , то по теореме Коши .

Пример 14. Вычислить интеграл .

y -1 2 3 x Рисунок 17

Решение. Подынтегральная функция аналитична везде, кроме точек и . Функция будет аналитической в трехсвязной области, являющейся кругом, ограниченным окружностью , из которого вырезаны два круга: ; , где – достаточно малая величина (рис. 17).

Следовательно, по теореме Коши для многосвязной области

Для вычисления интеграла по контуру применим обобщенную формулу Коши, где аналитична внутри контура .

.

Для вычисления интеграла по контуру применим формулу Коши, где аналитична внутри контура :

Задачи

3.1. Вычислить , где – дуга параболы от точки до точки .

3.2. Вычислить , где – прямолинейный отрезок, соединяющий точки и .

3.3. Вычислить по левой полуокружности с центром в точке и радиусом , если .

3.4. Вычислить , где – граница области .

3.5. Вычислить , где – произвольная линия, соединяющая точки .

3.6. Вычислить .

3.7. Вычислить по следующим контурам:

а) по полуокружности ( – ветвь, получаемая из общей формулы при );

б) по полуокружности .

3.8. Вычислить , где .

3.9. Вычислить .

3.10. Вычислить , где а) ; б) .

3.11. Вычислить , где – окружность .

3.12. Вычислить , где – окружность .

3.13. Вычислить .