Задачи для самостоятельного решения

1.11. Вычислить значения функций:

а) в точках

б) в точках

в) в точках

г) в точках

д) в точках

е) в точках

1.12. Вычислить

1.13. Вычислить , подсчитав действительную и мнимую части с точностью до .

1.14. Вычислить действительные и мнимые части функций: а)

б) в)

1.15. Доказать тождества:

а)

б)

1.16. При отображении найти образ линии

1.17. При отображении найти образ линии

1.18. При отображении найти прообраз прямоугольной сетки плоскости с разрезом вдоль положительного направления действительной оси.

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Комплексное число называется пределом функции при , стремящемся к , если для любого существует такое , что как только .

Отсюда следует, что если и , то

Верно и обратное утверждение.

Функция называется непрерывной в точке , если

.

Производной функции комплексного переменного называется

Функция, имеющая производную в точке , называется дифференцируемой в этой точке.

Для дифференцируемости функции комплексного переменного в данной точке необходимо и достаточно, чтобы функции и были дифференцируемы в данной точке и удовлетворяли в этой точке условиям Коши-Римана:

При этом

Так как основные свойства предельного перехода сохраняются, сохраняются основные правила дифференцирования.

Функция называется аналитической в области , если она дифференцируема в каждой точке области . Функция называется аналитической в точке , , если она аналитична в некоторой ее окрестности.

Элементарные функции в области определения аналитичны и для них справедливы основные формулы дифференцирования; для многозначных функций производные определяются для каждой ветви в отдельности.

Пример 5

Проверить выполнение условий Коши-Римана для функции .

Решение

Условия Коши-Римана выполняются на всей плоскости, значит, функция дифференцируема на всей плоскости, и ее производная

Пример 6

Показать, что при функция не имеет производных.

Решение

равны только при ;

равны только при .

Условия Коши-Римана не выполняются ни в одной точке, кроме .

Замечание. в точке дифференцируема, но не аналитична в ней, т. к. она не аналитична в окрестности этой точки.

Функция двух действительных переменных , имеющая в области непрерывные частные производные второго порядка и удовлетворяющая уравнению Лапласа , называется гармонической в области .

Действительная и мнимая части аналитической в односвязной области функции являются гармоническими функциями в области . Для всякой гармонической в односвязной области функции существует функция , аналитичная в области . Ее мнимая часть называется функцией, гармонически сопряженной с функцией . Аналогично для всякой гармонической в односвязной области функции существует функция , аналитическая в области .

Пример 7

Найти аналитическую функцию , если

Решение. Функция является гармонической. Действительно,

Из условий Коши-Римана следует, что

Тогда

Так как

Если аналитическая в области функция отображает эту область на область плоскости , причем всюду в области : , то равен коэффициенту растяжения, происходящему при этом отображении в точке , а равен углу поворота каждой из гладких линий, проходящих через точку , при том же отображении.

Пример 8. Найти коэффициент растяжения и угол поворота при отображении в точке .

Решение. Коэффициент растяжения

угол поворота

Задачи

2.1. Проверить выполнение условий Коши-Римана для следующих функций:

а)

б)

в)

2.2. Показать, что при функция не имеет производных.

2.3. Будет ли дифференцируемой функция

2.4. Найти область, в которой функция будет аналитической.

2.5. Определить вещественные функции и так, чтобы функция была дифференцируемой.

2.6. Найти аналитическую функцию , если

а)

б)

в)

2.7. Найти коэффициент растяжения и угол поворота при отображении

в точке : а) б)

2.8. Найти линии равного растяжения и линии равного угла поворота для отображений: а) б) .

2.9. Выяснить геометрический смысл производной линейной функции . При отображениях и найти образ квадрата: