2.6. Рух вільної частинки

Потенціальна енергія вільної частинки , і згідно з рівняння (2.22) рівняння Шредінгера у випадку одновимірного руху, наприклад в напрямку , матиме вигляд

(2.32)

Для вільної частинки можна прийняти, що енергія , де - хвильове число , а - дебройлівська довжина хвилі частинки. Тоді рівняння (2.32) можна переписати у вигляді

.

Рішенням цього рівняння є функція

, (2.33)

я

Рис. 2. 6

ка представляє собою суперпозицію двох плоских монохроматичних хвиль однакової частоти , що поширюються одна в одному напрямку осі з амплітудою , друга – в протилежному напрямку з амплітудою .

Із наведеного вище знаходимо, що хвильове число для вільної частинки дорівнює

,

а енергія частинки, як функція , є неперервною

. (2.34)

Графік цієї функції представлений на рис. 2.6.

Таким чином, вільній частинці у квантовій механіці відповідає плоска монохроматична хвиля де Бройля. Цьому відповідає незалежна від часу ймовірність виявити частинку в обраній частині простору. Дійсно, вибравши для простоти лише одну хвилю у рівнянні (2.33), наприклад першу, маємо

.

2.7. Частинка в нескінченно глибокій потенціальній ямі

Нехай частинка рухається в нескінченно глибокій потенціальній ямі (рис. 2.7). Цей випадок є певним наближенням до задачі про рух електрона в атомі. Для одновимірної задачі стаціонарне рівняння Шредінгера матиме вигляд

(2.35)

З

Рис. 2. 7

а межі потенціальної ями частинка попасти не може. Тому ймовірність виявити частинку, а отже, і функцію за межами ями дорівнює нулю. Із умови неперервності випливає, що має дорівнювати нулю і на межах ями, тобто що

. (2.36)

Для області потенціальна енергія стала і можна прийняти , оскільки за початковий рівень її вимірювання можна вибрати довільне значення. Тоді рівняння (2.35) матиме вигляд

. (2.37)

Увівши позначення

, (2.38)

отримуємо рівняння, добре відоме із теорії коливань

.

Рішення цього рівняння будемо шукати у вигляді функції

. (2.39)

На основі (2.36) за умови, що , отримуємо

,

звідки випливає, що . Умова

виконується лише у випадку, коли

() (2.40)

( випадає, оскільки при цьому - частинка ніде не знаходиться).

Виключивши із рівняння (2.38) та (2.40), знайдемо власні значення енергії частинки:

(). (2.41)

Спектр енергії виявився дискретним.

Оцінимо відстань між сусідніми рівнями для різних значень маси частинки і ширини ями . Різниця енергій двох сусідніх рівнів дорівнює

.

Якщо взяти - масу молекули (), а (молекули газу в посудині), то знаходимо

(Дж).

Так густо розташовані енергетичні рівні будуть сприйматись як суцільний спектр енергії, так що квантування енергії на характер руху молекули практично не впливає.

Аналогічний результат отримаємо для електрона () при тих самих розмірах ями (вільний електрон в металі). У цьому випадку (Дж).

Зовсім інший результат отримаємо для електрона в атомі (). У цьому випадку (Дж), так що дискретність енергетичних рівнів буде суттєво відчутна.

Підставивши в (2.39) при значення із (2.38), знайдемо власні функції, що відповідають власним енергіям:

.

Із умови нормування псі-функції маємо

.

На кінцях проміжку інтегрування підінтегральна функція перетворюється в нуль. Тому значення інтеграла можна отримати, помноживши середнє значення (що дорівнює ) на довжину проміжку . В результаті отримаємо , звідки . Таким чином, власні функції описуються рівнянням:

(). (2.42)

Число , яке визначає вигляд хвильової функції і енергію частинки в стані, якому відповідає ця хвильова функція, називаються головним квантовим числом системи.

Формула (2.41) показує, що існує деяка мінімальна, не рівна нулю енергія

, (2.43)

яка відповідає основному стану руху мікрочастинки. Хвильова функція цього стану

у жодній точці всередині ями в нуль не перетворюється.

З виразу (2.43) видно, що мінімальна енергія зі зменшенням лінійних розмірів ями () збільшується. Фізична причина цього полягає в тому, що зі зменшенням лінійних розмірів ями зменшується довжина хвилі де Бройля, яка відповідає основному стану, а зменшення довжини хвилі де Бройля означає збільшення енергії частинки. Таким чином, уточнення локалізації частинок неминуче супроводжується збільшенням енергії частинки. Це є одним із проявів принципу невизначеностей.

Рис. 2.8

На рис. 2.8 наведені відповідно: схема енергетичних рівнів (рис. 2.8, а), графік функції (рис. 2.8, б) та густина ймовірності виявлення частинки на різних відстанях від стінок ями (рис. 2.8, в). З графіка видно, що для стану з неможливо виявити частинку точно посередині ями, хоча перебування її як в лівій, так і в правій половині ями рівноймовірне. Така поведінка частинки, очевидно, несумісна з поняттям траєкторії.