2.4. Фізичний зміст псі-функції

Правильну інтерпретацію псі-функції дав німецький фізик-теоретик М. Борн (1882-1970) в 1926 р.

Як відомо, квадрат амплітуди хвилі визначає ймовірність попадання фотона в дану точку простору. За аналогією згідно з тлумаченням М. Борна квадрат модуля хвильової функції для будь-якої точки простору, помножений на елементарний об’єм, що включає цю точку, має визначати ймовірність знаходження частинки в межах об’єму , тобто

, (2.27)

де - функція, комплексно спряжена з , - коефіцієнт пропорційності.

Таким чином, квантова механіка має статистичний характер, і за допомогою хвильової функції визначається тільки ймовірність виявлення мікрочастинки в різних точках простору.

Інтеграл від виразу (2.27), взятий по всьому об’єму, повинен дорівнювати одиниці:

. (2.28)

Дійсно, цей інтеграл дає ймовірність того, що частинка знаходиться в одній з точок простору, тобто ймовірність достовірної події, яка дорівнює одиниці.

У квантовій механіці приймається, що псі-функція може бути помноженою на відмінне від нуля довільне комплексне число , при чому і описують один і той самий стан частинки. Ця обставина дозволяє вибрати псі-функцію так, щоб вона задовольняла умові

. (2.29)

Умову (2.29) називають умовою нормування. Функції, які задовольняють умові (2.29), називають нормованими. Співставивши (2.28) та (2.29), знаходимо, що для нормованої функції вираз (2.27) набуває вигляду

. (2.30)

Із (2.30) випливає, що має зміст густини ймовірності.

У випадку стаціонарного силового поля псі-функція має вигляд (2.21). Відповідно

,

так що густина ймовірності дорівнює і від часу не залежить. З цієї причини стани, що описуються псі-функціями виду (2.21), були названі стаціонарними.

Із смислу псі-функції випливає, що квантова механіка має статистичний характер. Вона не дає можливості визначити місце знаходження частинки в просторі або траєкторію руху частинки. За допомогою псі-функції можна лише передбачити, з якою імовірністю частинка може бути виявлена в різних точках простору. На перший погляд начебто квантова механіка менш точно описує рух частинки, ніж класична механіка, яка «точно» визначає координати і швидкість частинки в кожен момент часу. Однак в дійсності це не так. Квантова механіка глибше розкриває дійсну поведінку частинки. Вона лише не визначає того, чого насправді немає.

2.5. Квантування енергії

Рівняння Шредінгера дозволяє знайти псі-функцію певного стану і, отже, визначає ймовірність знаходження частинки в різних точках простору. Однак цим далеко не вичерпується значення цього рівняння. Із рівняння (2.24) і умов, яким повинна відповідати псі-функція, безпосередньо випливає правило квантування енергії.

За своїм смислом псі-функція має бути однозначною (вказувати на ймовірність певного стану), нерозривною (не змінюватись стрибками) і скінченою (за винятком особливих точок). Окрім того її похідна має бути нерозривною і скінченою. Сукупність таких умов називають стандартними умовами.

Параметром рівняння Шредінгера є повна енергія частинки . За правилами диференціальних обчислень рівняння вигляду (2.24) мають рішення, що задовольняють стандартним умовам, не при будь-яких значеннях параметра (тобто енергії ), а лише при певних значеннях. Ці значення називають власними значеннями (у нашому випадку – енергії). Рішення, що відповідають власним значенням , називають власними функціями задачі.

Сукупність власних значень називають спектром величини. Якщо ця сукупність створює дискретну послідовність, спектр називається дискретним, якщо неперервну – спектр називають неперервним або суцільним.

У випадку дискретного спектра власні значення і власні функції можна представити у вигляді сукупностей:

(2.31)

Таким чином, квантування енергії випливає із основних положень квантової механіки без будь-яких додаткових обмежень.

Розрахунки власних значень і власних функцій, як правило, є досить складними. У подальшому розглянемо деякі приклади рішення рівняння Шредінгера для стаціонарних станів.