2.2. Співвідношення невизначеностей Гейзенберга

За гіпотезою Луї де Бройля електрон та інші частинки матерії мають хвильові властивості, тобто вони не є матеріальними точками, як це уявлялось у рамках класичної механіки. У зв’язку з цим постає запитання: які розміри має електрон і яку область простору він займає?

Локалізація матеріальної точки m, яка рухається вздовж осі Ox, у класичній механіці в деякий момент часу t визначається точкою C, координата якої x. Нехай у деякий початковий момент часу t₀ матеріальна точка має швидкість і відповідний імпульс . Сукупність послідовних місць знаходження рухомої точки C₁, C₂, C₃, … утворює траєкторію руху матеріальної точки. Якщо відома сила , що діє на матеріальну точку, то на основі другого закону Ньютона можна визначити координату x і складову імпульсу рухомої матеріальної точки, а саме:

; . (2.8)

З рівнянь (2.8) випливає: якщо відоме початкове положення матеріальної точки x₀, її початковий імпульс і діюча на неї сила , то можна визначити зміну імпульсу і зміну координати за будь-який проміжок часу і цим самим повністю описати рух матеріальної точки, тобто вказати її координату і відповідну складову імпульсу в будь-який момент часу t

; .

У класичній механіці і координата, і відповідна складова імпульсу визначаються одночасно і з будь-якою точністю.

По-іншому вирішується питання просторової локалізації і визначення імпульсу мікрочастинки. Оскільки переміщення мікрочастинки необхідно пов’язувати з хвильовим процесом, то рівняння, яке описує її рух, характеризуватиме умови поширення відповідної хвилі де Бройля. У цьому випадку визначення місця знаходження мікрочастинки в будь-який момент часу не має фізичного змісту, оскільки хвиля являє собою протяжний об’єкт, який заповнює певну область простору і не маже бути зосереджена в одній точці з координатою x. Для мікрочастинок неправомірно говорити про одночасне значення її координати й імпульсу. Вираз «довжина хвилі в даній точці» не має змісту, але імпульс виражається через довжину хвилі, тому координата частинки з певним імпульсом цілком невизначена. І навпаки, якщо координата частинки точно визначена, то її імпульс повністю невизначений. Для спрощення спочатку розглянемо випадок, коли мікрочастинка (електрон) рухається з постійною швидкістю . У цьому разі рухомій частинці відповідає монохроматична хвиля де Бройля. Якщо хвиля плоска, то при поширенні вздовж осі O вона займає необмежену частину простору. Інтервал координати , в якому знаходиться хвильовий об’єкт, дорівнює нескінченності.

Оскільки хвиля монохроматична (), то їй відповідає цілком певне значення імпульсу частинки (), тобто . Отже, монохроматична плоска хвиля характеризується відповідно невизначеністю координати () і точним значенням відповідної складової імпульсу (). Плоска хвиля є фізичною ідеалізацією. Як відомо, будь-яку реальну хвилю можна розглядати як результат накладання, тобто як сукупність плоских хвиль. Така група хвиль поширюється як деякий обмежений у просторі об’єкт, який називають хвильовим пакетом. Його можна одержати шляхом накладання монохроматичних хвиль різних амплітуд і довжин хвиль від до (рис. 2.3, а). Для такого локалізованого пакета (рис. 2.3, б) вже втрачається визначеність довжини хвилі й імпульсу, оскільки він являє собою суперпозицію монохроматичних хвиль. Невизначеність імпульсу частинки, зв’язаної з хвильовим пакетом, оцінюється інтервалом імпульсів складових хвиль:

.

Рис. 2.3

Чим вужчий інтервал локалізації хвилі, тим ширший інтервал інтерферуючих хвиль утворює хвильовий пакет. У цьому випадку зростає величина . Отже, зменшення зв’язане із зростанням невизначеності імпульсу . Це означає, що координата і проекція імпульсу мікрочастинки не можуть одночасно мати певні фіксовані значення, вони можуть набирати будь-які значення у відповідних інтервалах і , і . У 1927 р. німецький фізик В. Гейзенберг (1901-1976) показав, що між вказаними невизначеностями і існує співвідношення

, (2.9)

де .

За даними [2] співвідношення (2.9) має вигляд:

.

Оскільки коефіцієнт фізичного значення не має, то основним приймається співвідношення (2.9). З нього випливає, що чим точніше фіксована координата, тобто чим менше , тим більша невизначеність імпульсу і, навпаки, чим точніше значення імпульсу, тим більша невизначеність координати.

Співвідношення, аналогічне (2.9), виконується для і , і , а також для інших пар величин, що описують стан мікрочастинки (в класичній механіці такі пари величин називають канонічно спряженими). Позначивши канонічно спряжені величини буквами і , можна записати

. (2.10)

Співвідношення (2.9) та (2.10) називають співвідношеннями (принципом) невизначеностей Гейзенберга.

Енергія і час є канонічно спряженими. Тому для них теж виконується принцип невизначеностей

. (2.11)

Це співвідношення означає, що визначення енергії з точністю до потребує інтервалу часу .

Рис. 2. 4

Співвідношення (2.9) проявляється при будь-яких спробах вимірювання точного розташування або точного значення величини імпульсу частинки. Уявімо собі, що мікрочастинка рухається горизонтально зі швидкістю (рис. 2.4). Перпендикулярно до напрямку руху частинки подумки поставимо екран, в якому є щілина завширшки . До проходження частинки через щілину її складова імпульсу має точне значення, і для неї . Координата у цьому випадку зовсім невизначена. У момент проходження частинки крізь щілину картина змінюється, оскільки замість повної невизначеності координати з’являється невизначеність її , яка дорівнює ширині щілини. У цьому разі також з’являється невизначеність імпульсу , відмінна від нуля. Дійсно, внаслідок дифракції існує деяка ймовірність того, що частинка рухається в межах кута ( - кут, що відповідає першому дифракційному мінімуму). Знехтувавши максимумами вищих порядків, маємо невизначеність величини :

.

З умови першого мінімуму дифракційної картини від щілини маємо . Тоді

.

Оскільки , то з цієї формули одержимо

. (2.12)

Якщо враховувати максимуми дифракційної картини вищих порядків, то співвідношення (2.12) можна записати у вигляді

або , (2.13)

що не протирічить співвідношенню (2.9).

З співвідношення (2.9) випливає, що стан, в якому частинка знаходиться в повному спокої, неможливий. У квантовій механіці втрачає смисл поділ повної енергії на кінетичну і потенціальну. Дійсно, одна з цих величин залежить від імпульсів, а друга – від координат. Ці ж змінні не можуть мати одночасно певних значень. Енергія повинна визначатися і вимірюватися тільки як повна енергія без поділу на кінетичну і потенціальну.

Співвідношення невизначеностей вказує на межі можливостей застосування понять класичної механіки до мікрочастинок, зокрема, з якою точністю можна говорити про траєкторію мікрочастинки. Враховуючи, що імпульс , на підставі (2.9) знаходимо, що

.

Отже, чим більша маса частинки, тим меншими є невизначеності її координати і швидкості і тим точніше можна приймати поняття траєкторії. Уже для частинки масою 1 г невизначеності і знаходяться за межами точності вимірів цих величин, так що її рух можна розглядати як рух по певній траєкторії.

Рис. 2. 5

За певних умов навіть рух мікрочастинки можна приблизно розглядати як такий, що відбувається по траєкторії. Як приклад розглянемо рух електрона в електронно-променевій трубці. Нехай слід електронного пучка на екрані має радіус м, довжина трубки м (рис. 2.5). Тоді . Імпульс електрона зв’язаний з прискорюваною напругою співвідношенням , звідки . За напруги В енергія електрона (Дж). . (), (). Невизначеність координати

(м).

Отриманий результат вказує на те, що рух електрона в електронно-променевій трубці практично не відрізняється від руху по певній траєкторії.

Співвідношення невизначеностей є одним із фундаментальних положень квантової механіки. Одного його достатньо, щоб отримати ряд важливих результатів. Зокрема, воно дозволяє пояснити той факт, що електрон не падає на ядро атома, а також оцінити розміри найпростішого атома і мінімальну можливу енергію електрона в такому атомі.

Якби електрон упав на точкове ядро, то його координати і імпульс мали б певні значення, що є несумісним з принципом невизначеностей. Цей принцип вимагає, щоб невизначеність координати електрона і невизначеність імпульсу були зв’язані умовою (2.9). Формально енергія була б мінімальною коли і . Тому, оцінюючи мінімальну можливу енергію, необхідно прийняти, що і . Підставивши це значення у (9.2), отримаємо співвідношення

. (2.14)

Енергія електрона в атомі водню дорівнює

.

Замінивши згідно (2.14) через , отримаємо:

. (2.15)

Знайдемо значення , при якому мінімальна. Дослідивши (2.15) на екстремум, знайдемо:

,

Звідки випливає, що

м. (2.16)

Підстановка виразу (2.16) у формулу (2.15) дає енергію основного стану:

еВ. (1.17)

Отримані результати у вигляді (2.16) і (2.17) співпадають з результатами борівської теорії атома водню.