4.3. Ранговая корреляция

В результате формализации данных экспертными методами получается упорядоченный ряд, состоящий из рангов. Будем считать ранги случайными числами и введем для них статистику связи. Показателем связи ранжированных рядов может служить коэффициент ранговой корреляции.

Пусть n объектов ранжированы сначала по степени обладания свойством Х (ранги обозначим х_i), а затем по степени обладания свойством Y (ранги обозначим y_i). Ранжировки представим в виде

x₁, x₂, … , x_n;

y₁, y₂, … , y_n,

при этом предполагается, что выполнено условие (4.1). Коэффициент ранговой корреляции оценивает степень связи между этими рядами.

Спирмэн предложил искать оценку коэффициента ранговой корреляции в виде

, (4.10)

где

В случае, если ранжировки содержат одинаковые ранги, выражение для  имеет вид

, (4.11)

где Здесь t_i и u_i – числа повторений i-го ранга в ранжировке по Х и Y соответственно.

Исследование распределения вероятностей коэффициента ранговой корреляции показывает, что при отсутствии связи в ранжировках распределение величины  в формуле (4.10) стремится к нормальному распределению с дисперсией . Поэтому для оценки значимости коэффициента  можно использовать нормальный закон распределения.

Другой коэффициент ранговой корреляции , не связанный предпосылкой нормальности генеральной совокупности, был предложен Кендэлом. Он также вычисляется по рангам x_i и y_i. При этом элементы выборки располагают так, чтобы последовательность рангов одной из переменных представляла собой натуральный ряд 1,2,…,n. Для каждого i-го члена последовательности рангов второй переменной устанавливаем числа p_i и q_i , отражающие соответственно прямой и обратный порядок расположения последующих рангов. Затем подсчитываем суммы этих чисел P=p_i и Q=q_i , а также разность полученных сумм S=P  Q. Коэффициент ранговой корреляции  представляет собой отношение этой разности к наибольшему возможному значению P и Q, т.е. к наибольшей возможной сумме p_i и q_i. Такая величина может быть достигнута лишь тогда, когда порядок рангов в обеих последовательностях полностью совпадают. Она равна:

(4.12)

Коэффициент ранговой корреляции Кендэла можно вычислять по одной из эквивалентных формул:

(4.13)

или

. (4.14)

Для определения  достаточно располагать либо величиной P, либо Q. Чаще всего в формулу подставляют ту величину, которая имеет наименьшее значение.

Расчет показателя Кендэла можно упростить следующим образом:

1. ранжируем ряд по признаку Х в возрастающем порядке с указанием соответствующих им рангов по признаку Y;

2. подсчитываем баллы для всех рангов по признаку Y. Для этого находим, сколько рангов, предшествующих каждому рангу и последующих за ним, превышают его величину. Число предшествующих превышений есть q_i , число последующих превышений есть p_i;

3. находим сумму баллов , Q=q_i и разность между ними S=PQ. Далее по формулам (4.13) или (4.14).

Нельзя дать рекомендаций, какой из коэффициентов ранговой корреляции предпочтительнее на практике. Коэффициенты  и  построены по разному. При их вычислении по одной и той же последовательности чисел обычно >, но это ни о чем не говорит, так как оба коэффициента имеют пределы изменений от –1 до +1, а точность их не определена.