М) протилежні події

Якщо повною групою подій є дві події А₁ і А₂. Тобто універсум U= А₁  А₂ то А₂=Ā_1.

P(U)=P(А₁+ Ā₁ )=P(A₁)+P(Ā₁)=1

Наприклад: Стрілок вистрілює в мішень. Є дві можливості реалізації: попав – подія А; не попав – подія Ā.

P(A)+P(Ā)=1.

Часто ймовірність події ā позначають

q(A)=p(Ā); p(А)=q(Ā)

↑

не попав в не мішень.

Н) ймовірність появи хоча б однієї події

Нехай після спроби можуть появитись “n” подій. Ця сукупність подій створює повну групу. Якщо ймовірності кожної події відомі, тобто відомі Р_1,Р₂,...,Р_n, то ймовірність появи хоча б однієї події незалежних в сукупності подій рівна

Р(А₁)=1-q₁*q₂*….* q_n ; де q_і=1-p_і. Бо добуток q_1*….*q_n описує ймовірність того, що жодна подія не реалізувалась!

Якщо, коли р₁=р₂=...=р_n то і q₁=q₂=…=q_n

тоді P(А)=1-q₁ⁿ.

0) Наслідки із додавання і множення.

1)Теорема додавання ймовірностей сумісних подій.

Якщо події сумісні, тобто їх геометрична інтерпретація має вид (заштрихована частина задає площу АВ)

то очевидно, що ймовірність об’єднання подій

p(AB)=p(A)+p(B)-p(AB)



бо площа АВ враховується два рази.

Якщо події не сумісні то АВ=0 то, очевидно, р(АВ)=р(А)+р(В)

Наприклад. Ймовірність попадання в мішень снаряду з першої пушки р₁ = 0,7 а з другої р₂=0,8. Знайти ймовірність того, що мішень буде знищено, тобто в неї попаде хоча б один снаряд.

Р(А) – ймовірність попадання першого.

Р(в) – ймовірність попадання другого.

Р(АВ) – ймовірність попадання і першого і другого.

Тоді шукана ймовірність:

P(AB)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

P(A)=0.7; P(B)=0.8; P(AB)=0.56



Добуток, бо події незалежні.

Тоді p(AB)=0.7+0.8-0.56=0.94.

До речі попаданням хоча б одного: р(А+В)=1-q₁q₂=1-0.3*0.2=0.94

П) формула повної ймовірності.

Нехай подія А може відбутись при реалізації однієї із несумісних подій В₁, В₂,...,В_n, які створюють повну групу. Нехай нам відома сукупність умовних ймовірностей

Р_В1(А), р_В2(А),..., р_Bn(А)

Як обчислити ймовірність події А?

Теорема :

Ймовірність події А, яка може відбутись лише при умові реалізації однієї із несумісних подій В₁, В₂,...,В_n, що створюють повну групу, рівна сумі добутків ймовірностей кожної із даних подій на відповідну умовну ймовірність події А.

Тобто:

Р(А)=р(В₁)*р _В1(А)+ р(В₂)*р_B2(А)+...+р(В_n)*p_Bn(A).

Ця формула називається формулою повної ймовірності

Наприклад.

Є два набора деталей.

В першому ймовірність вибору стандартної деталі 0.8, а в другому 0,9.

Знайти ймовірність того, що взята деталь буде стандартною.

(Ясно, що деталь можна взяти як із першого так із другого набору.

Розв’язок.

Нехай подія “А” – вибрати стандартну деталь.

Подія В₁ вибрана із першого набору.

Подія В₂ – з другого.

Ймовірність того, що деталь взята з “1”набору

Р(В₁)=1/2; бо їх “2”

Аналогічно

Р(В₂)=1/2.

Тоді

Р(А)=1/2*0,8+1/2*0,9 – буде шукана ймовірність вибору стандартної деталі

Р(А)=0,85.

Як бачимо, в формулу входять різні гіпотези, або вийняли з “1” або з ”2”.

Р) ймовірність гіпотез. Формула бейеса.

Нехай подія А може наступити при виконанні однієї із несумісних подій В₁,...,В_n , що створюють повну групу. Оскільки наперед невідомо яка з подій реалізується, то реалізацію тієї чи іншої називають гіпотезою. Ймовірність появи події А

Р(А)=р(В₁)*р _В1(А)+ р(В₂)*р_B2(А)+...+р(В_n)*p_Bn(A)

можна обчислити з виразу повної ймовірності.

Допустимо, що подія А відбулась. Тоді цікаво, які ймовірності р_А(В₁)..... р_А(В₂) з врахуванням того, що подія А відбулась.

Спочатку визначимо ймовірність р_А(В₁). За теоремою множення ймовірностей (визначається перерізом множин) отримаємо:

Р(АВ₁)=р(А)*р_А(В₁)=р(В₁) р_в1(А)

Звідси слідує, що

р_А(В₁)= (р(В₁) р_В1(А))/ р(А)=( р(В₁) р_в1(А))/( р(В₁)*р _В1(А)+ р(В₂)*р_B2(А)+...+р(В_n)*p_Bn(A))

Аналогічно підраховується ймовірність події р_А(В_і):

де і=1,…..,n.

Отримані формули називаються формулами Бейєса.

Формули Бейєса дозволяють провести переоцінку ймовірностей гіпотез після того, як став відомим результат спроби, в результаті якої відбулась подія А.

Приклад:

Деталі,виготовлені на заводі попадають для перевірки одному з двох контролерів.

Ймовірність того, що деталь попаде до першого рівна 0.6 а до другого - 0.4. Ймовірність того, що гідна деталь буде признана стандартною у першого - 0.94, відповідно, у другого - 0.98. Гідна деталь після перевірки виявилась стандартною. Знайти ймовірність того, що дану деталь перевіряв перший контролер.

Розв’язок. Подія А – гідна деталь признана стандартною. Можна допустити, що (гіпотези):

1. Деталь перевіряв 1^й контролер ( подія В₁)

2. Деталь перевіряв 2^й контролер ( подія В₂)

Ш укану ймовірність того, що деталь перевірив 1^й контролер

З а умовою задачі

Т оді

В той час коли до виконання спроби

після досліду з виконанням події А отриманий результат є уточненим.