Применяя формулу (1), получим
Следовательно,
4)
Площадь грани А1
А2
А3
равна половине площади параллелограмма,
построенного на векторах
и
.
Обозначим через вектор
векторное
произведение векторов
и
,
тогда площадь параллелограмма
,
а площадь грани
Координаты
вектора
найдем по формуле (3):
(11;
2; 10)
кв.
ед.
5)
Объем пирамиды V
в шесть раз меньше объема параллелепипеда
V1,
построенного на трех некомпланарных
векторах, и равен абсолютной величине
их смешанного произведения. Вычислим
смешанное произведение
:
Следовательно, V1 параллелепипеда равен 144 куб. ед., а объем заданной пирамиды V = 144/6 =24 куб. ед.
6) Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки А1(х1, y1, z1) и А2(х2, y2, z2) имеет вид
(7)
Подставив в (7) координаты точек А1 и А2, получим
7) Уравнение плоскости А1А2А3 – это уравнение грани А1А2А3, которое найдено в п.3:
А1А2А3 : 2х – у – 2z – 3 = 0
8) Уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3 – это перпендикуляр А4Д. Каноническое уравнение прямой в пространстве имеет вид
(8)
где
х0,
у0,
z0
– координаты точки, через которую
проходит прямая (8), а m,
n,
p
– направляющие
коэффициенты этой прямой. По условию
прямая проходит через точку А4(0;
1; 4) и перпендикулярные грани А!А2А3
для которой
(2;
-1; -2), т.е. подставив эти данные в формулу
(8), получаем
-
уравнение высоты А4Д
Пример
3. Линия
задана уравнением
в полярной системе координат. Требуется:
1) построить линию по точкам, начиная
от φ = 0
до φ = 2π
и придавая φ значения через промежуток
π/8;
2) найти уравнение данной линии в
прямоугольной декартовой ситеме
координат, у которой начало координат
совпадает с полюсом, а положительная
полуось абсцисс – с полярной осью; 3)
по полученному уравнению определить,
какая это линия.
Решение.
1)
Построим линию по точкам от φ
= 0 до φ
= 2π, придавая
φ
значения через промежуток
.
Составим таблицу:
|
φ |
r(φ) |
|
00 |
|
|
22,50 |
|
|
450 |
|
|
67,50 |
|
|
900 |
|
|
112,50 |
|
|
1350 |
|
|
157,50 |
|
|
1800 |
|
|
202,50 |
|
|
2250 |
|
|
247,50 |
|
|
2700 |
|
|
292,50 |
|
|
3150 |
|
|
337,50 |
|
|
3600 |
|
|
φ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
r |
18 |
17,2 |
15,2 |
12,99 |
11,08 |
9,66 |
8,7 |
8,2 |
8 |
8,2 |
8,7 |
9,66 |
11,08 |
13 |
15,2 |
17,2 |
18 |
Построим полученные точки в полярной системе координат (рис. 1).
Рис. 1.
2) Найдем уравнение данной линии в прямоугольной декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абцисс ОХ – с полярной осью р.
Для
этого воспользуемся формулами перехода
к прямоугольной декартовой системе
координат х
= rcosφ,
y
= rsinφ,
откуда r2=x2+y2,
тогда подставим эти формулы в данное
уравнение
,
получаем:
Возведем в квадрат обе части последнего равенства:
Разделим обе части последнего уравнения на 24336:
Полученное
уравнение – уравнение эллипса с центром
в точке А(5;
0), полуоси которого
Проверим r(-φ), зная, что cosφ=cos(-φ)
Так как r(-φ)=r(φ), то данная линия будет симметрична относительно полярной оси р и достаточно найти r(φ) для углов от φ=0 до φ=π .
Пример 4. Данную систему уравнений:
решить по формулам Крамера (через определитель) и средствами матричного исчисления ( с помощью обратной матрицы).
Обозначим через А матрицу коэффициентов при неизвестных;
Х – м-цу - столбец неизвестных х1, х2, х3;
В – м-цу – столбец свободных членов:
С учетом этих обозначений данная система уравнений примет следующую матричную форму:
(1)
Если
матрица А –
невырожденная
(ее
определитель
),
то она имеет обратную матрицу А-1.
умножив обе части уравнения (1) на А-1
, получим:
,
но
-
единичная матрица, а ЕХ
= Х, поэтому
(2)
Равенство (2) называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо выписать обратную матрицу А-1.
Пусть
имеем невырожденную матрицу
и ее определитель равен Δ, тогда
где Aij
(i
= 1,2,3; j
= 1,2,3) – алгебраическое
дополнение элемента aij
в определителе
матрицы А
и
где Mij – минор (определитель) второго порядка, полученный вычеркиванием i –й строки и j – го столбца в определителе матрицы А.
Вычислим определитель Δ и алгебраические дополнения Aij элементов матрицы А.
следовательно
матрица А
невырожденная
и имеет обратную матрицу А-1.
тогда
По формуле (2) находим решение данной системы уравнений в матричной форме:
отсюда х1=3, х2=0, х3=-2.