
- •Высшая математика методические указания и контрольные задания
- •Задания для контрольных работ по математике для студентов заочной формы обучения
- •Указания к выполнению контрольной работы №1 Примеры решения задач.
- •I. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- •Подставим в (3) данные векторы 1, 2, 3, 4 , получим
- •Применяя формулу (1), получим
- •Если определитель системы уравнений то такая система уравнений имеет одно определенное решение, получаемое по формулам
- •Ιι. Введение в матаматический анализ
- •III. Производная и ее приложения
- •Формула Тейлора
- •IV. Функции нескольких переменных
- •V. Неопределенный и определенный интегралы.
- •Определенный интеграл
- •Числовые ряды
- •Знакопеременные ряды
- •Функциональные и степенные ряды
- •Ряды Фурье
- •Уравнение математической физики Решение уравнения колебания струны методом характеристик (методом Даламбера)
- •Элементы операционного исчисления
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Контрольные задания
Числовые ряды
Пусть и1, и2, … , иn, …, где иn= f(n) – бесконечная числовая последовательность. Выражение
и1+ и2+ и3 + …+ иn+ …
называется
бесконечным числовым рядом, а числа
и1, и2
, … , иn
– членами ряда ; иn
= f(n)
– называется общим членом. Ряд
часто записывают в виде:
Перечислим важнейшие признаки сходимости и расходимости рядов с положительными членами.
Необходимый
признак сходимости ряда. Если ряд
и1+ и2+ и3
+ …+ иn+ …
сходится, то
т.е. при n→∞ предел
общего члена сходящегося ряда равен
нулю. Таким образом, если
то
ряд расходится.
Первый признак сравнения. Пусть даны два ряда
и1+ и2+ и3 + …+ иn+ … (1)
σ1+ σ2+ σ3 + …+ σn+ …, (2)
причем каждый член ряда (1) не превосходит соответствующего члена ряда (2), т.е. иn≤ σn (n = 1, 2, 3, …). Тогда если сходится ряд (2), то сходится и ряд (1); если расходится ряд (1), то расходится и ряд (2).
Второй
признак сравнения. Если существует
конечный и отличный от нуля предел
то
оба ряда
и
одновременно
сходятся или одновременно расходятся.
Признак
Коши. Если для ряда (1) существует
то этот ряд сходится при С < 1 и
расходится при С > 1.
Признак
Даламбера . Если для ряда (1) существует
то
этот ряд сходится при Д <1 и
расходится при Д >1.
Интегральный
признак. Если f(x)
при х ≥ 1 – непрерывная, положительная
и монотонно убывающая функция, то ряд
,
где иn=f(n),
сходится или расходится в зависимости
от того, сходится или расходится интеграл
(N ≥1).
Знакопеременные ряды
Ряд, члены которого имеют чередующиеся знаки, называют знакочередующимися:
и1- и2+ и3 – и4+ …+(-1)n+1 иn+ …,
где un>0 (n = 1, 2, 3, …).
Признак сходимости знакочередующегося ряда (признак Лейбница).
Знакочередующийся ряд сходится, если абсолютная величина его членов монотонно убывает, а общий член стремится к нулю, т.е. если выполняется следующее условие:
1) и1> и2> и3 > …
и
2)
Пример 1. Исследовать сходимость числового ряда;
а)
б)
Решение
а) применим признак Даламбера. Выпишем n-ый и (n + 1) – ый члены ряда:
Тогда
и данный ряд сходится.
б) Применим
интегральный признак:
;
следовательно,
- непрерывная, положительная и монотонно
убывающая функция при х ≥ 1 и
Данный интеграл – сходящийся, поэтому сходится и исследуемый ряд.
Функциональные и степенные ряды
Пример 2.
Найти область сходимости степенного
ряда:
Решение
а) Данный степенной ряд можно записать так:
Применяем признак Даламбера и ищем предел:
Как видно,
ряд будет сходиться для тех значений
х, для которых
Таким образом,
интервал сходимости данного ряда (-2;
2). Граничные точки интервала сходимости
х =
2,
для которых Д = 1 и признак Даламбера
не решает вопроса о сходимости ряда, и
исследуется особо.
При х =
-2, получим числовой знакочередующийся
ряд
для
которого выполняются все условия
признака Лейбница:
и
Следовательно ряд сходится. При х =
2, получим гармоничный ряд
который расходится.
Следовательно, областью сходимости данного ряда является полуоткрытый интервал:
-2 ≤ х < 2
б) Здесь
Применим признак Коши, находя предел:
при любом х ≠ 0.
Следовательно, заданный степенной ряд расходится при всех значениях х ≠ 0 и сходится только при х = 0.
Пример 3. Вычислить
интеграл
с
точностью до 0,001.
Решение
Предварительно представим подынтегральную функцию в виде степенного ряда. Используя известное разложение в степенной ряд функции sin x, имеем:
Получен знакочередующийся ряд, который удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Так как в этом ряде четвертый член по абсолютному значению меньше 0,001, то ограничимся только первыми тремя членами. Итак,
Пример 4. Найти первые три (отличные от нуля) члена разложения в ряд Маклорена функции у(х), являющейся частным решением дифференциального уравнения у΄ = х + х2-у2+ cos x, если у(0)=1.
Решение
Положим, что у(х) является решением данного дифференциального уравнения при указанных начальных условиях. Если функцию у(х) можно разложить в ряд Маклорена, то
(1)
Свободный член разложения (1), т.е у(0), дан по условию. Чтобы найти значения у΄(0), у΄΄(0),
у΄΄΄(0), …, можно данное уравнение последовательно дифференцировать по переменной х и затем вычислить значения производных при х=0.
Значение у΄(0) получаем, подставив начальные условия в данное уравнение:
Подставив найденные значения производных при х=0 в (1), получим разложение искомого частного решения заданного уравнения:
или