2. Алгоритм Евклида.

Пусть . Разделим на с остатком:

;

;

;

, где

или последний, не равный нулю остаток.

Упражнение 9.3. П 631 а).

9.3. Линейное представление НОД

Теорема 9.2. Пусть . Тогда существуют полиномы такие, что

Замечание 9.1. Найти и можно с помощью алгоритма Евклида аналогично тому, как искали линейное представление НОД для целых чисел.

Упражнение 9.4. П 632 а).

Теорема 9.3. Полиномы взаимно просты () тогда и только тогда, когда существуют два полинома такие, что

При этом будет выполняться

Упражнение 9.5. П 634 а).

Д/з: П 588, 641 d), c), 551, 541, 634 b), 636 a), 638.

Занятие 10. Разложение полинома по степеням через схему Горнера. Кратные корни. Отыскание кратности корня с помощью схемы Горнера

10.1. Формула ТеЙлора, разложение полинома по степеням (через схему Горнера)

Любую раз дифференцируемую в точке функцию можно разложить в ряд Тейлора:

где , если - полином.

Определение 10.1. Назовем такое представление разложением по степеням .

Задача 1. Пусть имеется полином

Требуется разложить по степеням , т. е. найти неизвестные коэффициенты в разложении

Эту задачу можно решать двумя способами:

1) Так как , то, раскрывая скобки по биному и подставив в , получим разложение (трудоемко).

2) можно воспользоваться схемой Горнера

В остальных строках вычисляются

Пример 10.1.

1. 

Замечание 10.2. Очевидно, что с помощью схемы Горнера возможно вычисление значений производных в точках.

10.2. Кратность корней. Нахождение кратности корня с помощью схемы Горнера

Пусть разложение полинома на линейные множители

Среди могут быть совпадающие. Если они есть, то

(10.1)

где , а среди нет совпадающих.

Определение 10.2. Если , то корень называется кратным корнем кратности , если то корень называется простым.

Задача 2. Имеет ли данный полином кратный корень? Если да, то какова его кратность?

Теорема 10.1. Пусть - кратный корень кратности полинома . Тогда является кратным корнем кратности .

где , ,

Замечание 10.2. можно также найти по алгоритму Евклида.

Итак, для того, чтобы ответить на вопрос «имеет ли данный полином кратный корень?», необходимо найти . Если , то «нет», иначе – «да».

Если корень λ полинома известен, то его кратность можно найти с помощью схемы Горнера.

Чтобы ответить на вопрос «какова кратность корня?», построим последовательность:

имеет только простые корни; эти корни будут корнями кратности r полинома .

Упражнение 10.1.

можно найти корни. Они будут кратными корнями .

10.2. Способ нахождения всех кратных корней

Если уравнение достаточно большей степени и его решить не удается, то построим последовательность:

т. к.

Так продолжаем до тех пор, пока не найдется :

Все корни полиномов – простые, однако, среди корней полинома нет простых корней полинома (т. к. для простых корней полинома имеем , а в полином входят корни, для которых ); среди корней нет корней кратности 2 полинома и т. д.

Следовательно, найдя полиномы

получим полиномы , корни которых простые и являются корнями кратности j полинома , и представление:

Замечание 10.3. Если поделить на , то уйдут те простые корни , которые содержатся в , следовательно, останутся только те, которые в последующих членах ряда , , не содержатся, следовательно, кратность этих корней в полиноме равна 1. Если поделить на , то останутся корни кратности j в полиноме .

Замечание 10.4. Этот способ определения кратности корней, их существования, используется в случае, когда сложно разложить на линейные множители.

Пример 10.2.

- кратность 2, - кратность 1.

Замечание 10.5. Таким образом, схема Горнера используется:

1. для вычисления при

2. для вычисления полинома при делении на линейный множитель

3. для вычисления производных

4. для разложения по степеням

5. для определения кратности корня полинома .

Д/з: П 541, 544 (b), 545 (d), 547, 548 (b), 549, 551, 588, 591, 631(b, c), 634 (b), 636 a), 638, 639 (a, b, c).