9. Координаты вектора в базисе

Теорема 7.3.

Любой вектор пространства раскладывается по базису единственным образом:

. (7.10)

Определение 23.

Коэффициенты а_x, а_y, а_z разложения вектора по базисным ортам называются координатами вектора в данном базисе.

Координаты есть проекции вектора на соответствующие оси координат.

Свойства координат векторов:

Пусть , , . Тогда

3. (7.11)

4. Условие коллинеарности векторов: векторы и , коллинеарны тогда и только тогда, когда их одноименные координаты пропорциональны:

. (7.12)

Пример 4. Выяснить, образуют ли векторы , , базис.

Решение. Система векторов образует базис, если она линейно независима, т.е. равенство справедливо только при .

. Значит, векторы образуют базис.

Задача 1 (Элементы векторной алгебры. С.7)
Задача 2 (ЭВА. С.7)
В треугольнике АВС сторона АВ точками M и N разделена на части: АМ=MN=NB. Найдите вектор , если , .
В треугольнике АВС сторона АМ – биссектриса угла ВАС, причем точка М лежит на стороне ВС. Найдите вектор , если , .
Пример 7 (ЭВА. С.9)
Пример 9 (ЭВА. С.11)
Пример 8 (ЭВА. С.10)
Найдите линейную комбинацию векторов , где , , .
Вычислите координаты линейной комбинации векторов , где , , .
Вычислите координаты вектора в базисе , где , , ,
Выясните, является ли система векторов линейно независимой , , .
Выясните, является ли система векторов линейно независимой , , .
Даны векторы , , в базисе . Докажите, что векторы образуют базис. Вычислите координаты вектора в базисе
Выясните, раскладывается ли вектор через векторы системы: , , .
Выясните, раскладывается ли вектор через векторы системы: , , .