5.2. Вычитание векторов

Разность векторов существует и определена однозначно. Вычитание вводится как операция, обратная сложению.

Определение 12.

Разностью векторов и , отложенных от общего начала, называется вектор , начало которого совпадает с концом вычитаемого вектора, а конец – с концом уменьшаемого вектора.

, если .

. (7.2)

Для любых двух векторов и : –=+(–).

Определение 12*.

Разностью двух векторов и , называют третий вектор, равный сумме уменьшаемого вектора и вектора (–), противоположного вычитаемому.

Это определение указывает правило построения разности векторов.

5.3. Умножение вектора на действительное число

Произведение вектора на число существует и определено однозначно.

Определение 13.

Произведением ненулевого вектора на действительное число 0 называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям (7.3):

Условие 1	где – модуль числа
Условие 2	, если , , если < 0.

Обозначение: =

Пример 3.

Свойства произведения вектора на число

Из определения следует:

1) || ,

2) если =, то ==;

3) если =0, то =0=.

Для произвольных чисел ,  и векторов и справедливы следующие равенства:

4) 1=; 6)

5) 7)

Для доказательства достаточно рассмотреть выполнение условий определения.

Для примера докажем свойства 4-5.

4) 1=

Условия определения
1. Длина
2. Направление	, так как 10.
Вывод	1=.

5) 

Условия определения	Слева	Справа	Вывод
1. Длина
2. Направление	2.1) Если и ,
	то и , т.е. .	то и , т.е. .
	2.2) Если и ,
	то и , т.е. .	то и , т.е. .
	2.3) Если и ,
	2.4) Если и ,
Вывод	Так как 1) ; 2) , то =, т.е. .

п. 2.3 и п.2.4 заполните самостоятельно. Докажите остальные свойства.

6. Векторное пространство

Мы выяснили, что на множестве векторов (обозначим его V₃) трехмерного пространства выполняются свойств линейных операций, а именно:  ,  R

1. 5.

2. 6.

3.  / 7.

4. – / 8. (7.4)

Говорят, что множество векторов V₃ образует векторное пространство над полем R, в котором определено сложение векторов, умножение вектора на действительное число, удовлетворяющее свойствам 1–8, называемым системой аксиом векторного пространства.

Векторное пространство называется n-мерным (имеет размерность n), если в нем:

1) существует n линейно независимых векторов;

2) любая система n+1 векторов линейно зависима.

Обозначается: n=dim V или V_n.

Подмножество L векторного пространства V₃ образует векторное подпространство, если оно само образует векторное пространство и удовлетворяет условиям:

1) , 2) . (7.5)