3. Родственные системы для двоичной системы счисления

   1. Из 2-ой в 8-ую и 16-ую – разбить двоичное число по 3разряда (для 8-ой системы счисления) или по 4 разряда (для 16-ой системы счисления) справа налево (от младшего разряда к старшему), добавляя при необходимости в старших разрядах нули слева. Для каждой группы разрядов определить число и записать их друг за другом, например:

101010₍₂₎ = Х₍₈₎ ? 1²0¹1⁰0²1¹0⁰ = 52 Х₍₈₎ = 52

5 2

101010₍₂₎ = Х₍₁₆₎ ? 0³0²1¹0⁰1³0²1¹0⁰ = 2А Х₍₁₆₎ = 2А

2 10

2. В 2-ую из 8-ой и 16-ой – записать каждую цифру 8-ого или 16-ого числа соответственно трёх- или четырёхразрядным двоичным числом.

2. Арифметические операции в позиционных системах счисления

Арифметические операции во всех позиционных системах счисления выполняются по одним и тем же хорошо известным правилам:

когда величина числа разряда становится равной или большей основания, наступает переполнение разряда и тогда производится перенос единицы из младших разрядов в старшие.

Сложение. Рассмотрим сложение чисел в разных системах счисления. В его основе лежат таблицы сложения одноразрядных двоичных (восьмеричных, шестнадцатеричных) чисел:

Сложение в двоичной системе Сложение в восьмеричной системе

Сложение в шестнадцатеричной системе

При сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он переносится влево.

Пример: Сложим числа 15 и 6 в различных системах счисления.

 

Шестнадцатеричная: F₁₆+6₁₆

Вычитание

При вычитании цифры вычитаются по разрядам, и если при этом возникает недостаток, то происходит заем из старших разрядов.

Пример. Вычтем единицу из чисел 10₂, 10₈ и 10₁₆

Пример. Вычтем число 59,75 из числа 201,25.

Ответ: 201,25₁₀ – 59,75₁₀ = 141,5₁₀ = 10001101,1₂ = 215,4₈ = 8D,8₁₆.

2. Кодирование информации

Кодирование информации – это её представление в другом виде: например, в ПК – в виде чисел двоичной системы счисления. В этой системе только две цифры: 0 и 1.

Символы 0 и 1 называются двоичными цифрами или битами (binary digit).

Каждый бит хранится в одном разряде памяти ПК, а разряды объединяются в ячейки памяти фиксированного размера. Ячейки размером 8, 16 и 32 разряда носят специальное название:

8 разрядов – байт;

16 разрядов – слово;

32 разряда - двойное слово

• Разряд – это место для цифры в числе, а количество цифр в числе называется разрядностью. Разряды нумеруются справа налево, и каждому разряду соответствует степень основания 0, 1, 2, 3 и т.д.

N=2ⁱ - максимальное число состояний, которое можно описать i количеством разрядов (бит) двоичного числа.

Например, двоичное число:

двухразрядное — N=2²=4 состояния (00, 01, 10, 11);

трёхразрядное — N=2³=8 состояний (000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111);

восьмиразрядное — N=2⁸=256 состояний (00000000, 00000001, …11111111).

Желательно помнить! 2⁵=32 2¹⁰=1024 ~ 1000=10³

2⁶=64 2¹¹=2¹⁰*2¹=1024*2=2048

2⁷=128 2¹²=2¹⁰*2²=1024*4=4096

2⁸=256 2¹⁶=2¹⁰*2⁶ ~ 10³*64=64000

2⁹=512 2³²=2³⁰*2²=(2¹⁰)³*4=(10³)³*4=10⁹*4