1. Системы счисления

Система счисления – это совокупность правил, по которым мы записываем числа, используя набор специальных знаков (цифр, алфавита) и выполняем над ними действия (сложение, умножение и т.д.).

Количество цифр в алфавите системы счисления называется её основанием.

Существует несколько систем счислений. Их названия определяются основанием системы счисления, т.е. количеством цифр, используемых для записи любого числа.

Обычно мы используем десятичную систему счисления. В этой системе любое число записывается с помощью десяти цифр: 0, 1, 2…9. Основание десятичной системы счисления равно 10.

*Из истории возникновения:

- 10-ая с.сч. – 10 пальцев на двух руках

- 5-ая или 12-ая с.сч. – 5 пальцев на руке или 10 пальцев + 2 руки;

- 60-ая с.сч. – для измерения углов и времени.

В ЭВМ для записи чисел используется двоичная система счисления. В этой системе только две цифры: 0 и 1. Основание двоичной системы счисления равно 2.

Родственными для двоичной системы счисления являются восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления (они менее громоздки).

Любое число записывается в виде последовательности цифр, например:

2010₍₁₀₎, 138₍₁₀₎ – в десятичной системе счисления;

1001_(2), 11011_{(2) –} в двоичной системе счисления;

1237₍₈₎ – в восьмеричной системе счисления;

А65F₍₁₆₎ – в шестнадцатеричной системе счисления;

ХIX, VI, IX - в Римской системе счисления.

Все системы счисления делятся на две большие группы:

1. позиционные – значение каждой цифры при записи числа зависит от её положения. К этой системе относятся 2-ая, 8-ая, 10-ая, 16-ая системы счисления.

2. непозиционные - значение каждой цифры при записи числа не зависит от её положения. К этой системе относится Римская система счисления. (например, I- всегда соответствует единице, V – всегда соответствует пяти и в числе VI, и в числе IV).

Место для цифры в числе называется разрядом, а количество цифр в числе – разрядностью числа. Разряды нумеруются справа налево, и каждому разряду соответствует степень основания 0, 1, 2, 3 и т.д. Например,

десятичное число:

_{3 2 1 0 – степень основания 10}

1 9 9 9₍₁₀₎ –четырёхразрядное = 1*10³+9*10²+9*10¹+9*10⁰=1999

_{тыс.сотни дес. ед-цы - название разряда}

Как двоичное число записать в 10-ой системе счисления? – точно так же, как и число 1999, -разложив его по степеням основания 2. Например,

двоичное число:

_{7 6 5 4 3 2 1 0 – степень основания 2}

10010011₍₂₎ –восьмиразрядное (байт)=1*2⁷+1*2⁴+1*2¹+1*2⁰=128+16+2+1=147₍₁₀₎,

1. Правила перевода чисел из одной системы счисления в другую

1. В 10-ую - из 2-ой, 8-ой, 16-ой:

Записать число в развёрнутой форме (разложить по степеням основания) и вычислить его значение, например:

1²0¹1⁰₍₂₎ = 1*2²+0*2¹+1*2⁰= 4+0+1= 5₍₁₀₎

1²0¹1⁰₍₈₎ = 1*8²+0*8¹+1*8⁰= 64+0+1= 65₍₁₀₎

1²0¹1⁰₍₁₆₎ = 1*16²+0*16¹+1*16⁰= 256+0+1= 257₍₁₀₎

2. Из 10-ой в 2-ую, 8-ую, 16-ую:

1. Целое число – делить исходное целое десятичное число и получаемые целые частные на основание (на 2/8/16) до тех пор, пока не получится частное, меньшее делителя, то есть меньше 2/8/16; искомое число будет состоять из цифр остатков (в [ ] ), записанных в обратной последовательности, т.е. справа налево, например:

12₍₁₀₎=Х₍₂₎ ? 12:(2)=6 [0]; 6:(2)=3 [0]; 3(2)=1 [1] Х₍₂₎=1100

12₍₁₀₎=Х₍₈₎ ? 12:(8)=1 [4] Х₍₈₎=14

12₍₁₀₎=Х₍₁₆₎ ? 12<(16) Х₍₁₆₎=C

(0,1,2…9, A(10), B(11), C(12), D(13), E (14), F(15) - алфавит 16-ой системы счисления.

2. Дробное число, <1 – последовательно умножать исходную десятичную дробь и получаемые дробные части произведений на соответствующее основание системы (на 2/8/16) до тех пор, пока не получится нулевая дробная часть или не будет достигнута требуемая точность вычислений (до цикла), например:

0,25₍₁₀₎=Х₍₂₎ ? 0,25*2=0,50; 0,50*2=1,00 Х₍₂₎ = 0,01

0,25₍₁₀₎=Х₍₈₎ ? 0,25*8=2,00 Х₍₈₎ = 0,20

0,25₍₁₀₎=Х₍₁₆₎ ? 0,25*16=4,00 Х₍₁₆₎= 0,40

3. Дробное число, >1 – перевести отдельно целую часть числа (см. п.1) и отдельно дробную часть числа (см. п.2) и затем объединить оба значения, отделяя целую часть от дробной запятой, например:

12,25₍₁₀₎=Х₍₂₎ ? 1100 + 0,01 Х₍₂₎ = 1100,01

12,25₍₁₀₎=Х₍₈₎ ? 14 + 0,20 Х₍₈₎ = 14,20

12,25₍₁₀₎=Х₍₁₆₎ ? С + 0,40 Х₍₁₆₎= С,40