3. Дифференцирование неявных функций

Говорят, что уравнение задает неявно функцию , на интервале , если для всех выполняется равенство .

Для вычисления производной функции следует продифференцировать по тождество , помня, что есть функция от x, а затем полученное уравнение разрешить относительно .

Пример 3.1.Найти значение в точке для функции, заданной неявно уравнением .

Решение. Дифференцируя по x обе части данного уравнения и считая при этом функцией от x, получаем:

,

откуда .

Полагая x = 1, y = –1, находим

.

Пример 3.2. Найти величину угла между касательными, проведенными в точках пересечения кривой x² + y² – 4 x + 4 y + 3 = 0 с осью Ox. Сделать чертеж.

Решение. Поступая по аналогии с предыдущим примером, находим:

y' = (*)

Точки пересечения данной кривой с прямой y = 0 являются решениями следующей системы:

Таких точек две: А(1;0) и В(3;0). Полагая x =1, y =0, находим согласно (*) угловой коэффициент k₁ касательной к данной кривой в точке А:

k₁ = у' (А ) = =.

Аналогично находим угловой коэффициент k₂ касательной в точке В:

k ₂ = у' (В ) = . Угол θ удовлетворяет равенству , значит , откуда .

Прежде чем сделать чертеж , преобразуем данное уравнение в уравнение (х – 2) ² + (у + 2) ² = 5, которое определяет окружность с центром О'(2;2) и радиусом R= ( рис.3).

Рисунок 3 – Иллюстрация к примеру 3.2.

4. Дифференциал функции. Применение дифференциала к приближенным вычислениям

Пусть функция f(x) дифференцируема в точке х₀. Дифференциалом функции f(x) в точке х₀ называется главная часть приращения функции, линейно зависящая от приращения аргумента . Обозначается dy, . Таким образом, согласно определению

.

Рассмотрим функцию , , то есть для независимого аргумента х дифференциал и приращение совпадают: .

Дифференциалом независимой переменной х называется ее приращение : .

Тогда из определения дифференциала следует

.

Из определения производной и дифференциала следует, что при малых справедливо приближенное равенство: или формула:

(5)

Пример 4.1. Вычислить приближенно: .

Решение. Для приближенного вычисления будем использовать формулу (5).

В нашем случае следует взять , , . Выберем и так, чтобы вычислялось легко, а было достаточно мало по модулю: , .

Подставим эти значения в формулу (5):

Ответ: .

Пример 4.2. Вычислить приближенно .

Решение. Для приближенного вычисления будем использовать формулу (5)

В нашем случае следует взять , , . Выберем и так, чтобы вычислялось легко, а было достаточно мало по модулю: , .

Подставим эти значения в формулу (5):

.

Ответ: .

5. Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть функция y=f(x) определена на множестве D и существует . Тогда на D определена функция . Если эта функция имеет производную в точке xD, то её называют производной второго порядка (или второй производной) функции f(x) в точке x.

Обозначается , , , .

Таким образом .

Производные высших порядков определяются индуктивно. Если для любого существует , то на D определена функция . Производная от этой функции (если она существует) в точке xD называется производной n–го порядка функции f(x) в точке x.

.

Обозначается: , , , .

Cчитают, что .

Заметим, что если существует в точке х, то в некоторой окрестности точки существует и все производные более низкого порядка k, k<n.

Если для функции y=f(x) в точке х существует , то говорят, что функция n раз дифференцируема в этой точке.

Пусть y=f(x) дважды дифференцируема на множестве D. Дифференциалом второго порядка функции f называется дифференциал от её дифференциала первого порядка и обозначается . Таким образом .

Если х – независимая переменная, то

.

Итак, .

Дифференциал любого порядка определяется индуктивно. Предположим, что уже введён дифференциал (n-1)–го порядка , и что y=f(x) дифференцируема n раз.

Дифференциалом n-го порядка функции f называется дифференциал от её дифференциала (n-1)-го порядка.

Обозначается . Т. о., .

Аналогично, как для дифференциала второго порядка, получим

.