Расстояние от точки до прямой

Дано: прямая l задана нормальным уравнением в векторной форме Требуется найти расстояние от точки до прямой.

Возможны 2 случая:

1. т. М₀ и начало координат лежат по разные стороны от прямой

2. т. М₀ и начало координат лежат по одну сторону от прямой

Рассмотрим 1 случай.

соединим и 0 - радиус вектор точки М₀

Опустим из точки перпендикуляр на l, обозначим точкой K(x,y)

- расстояние от точки до прямой. Соединим точку О с точкой K, получим - радиус-вектор точки К.

Из треугольника ОМ₀К видно, что

с одной стороны, а с другой стороны

, а так как точка К принадлежит l, значит, координаты ее радиус вектора координаты удовлетворяют уравнению подставляем и получаем по свойству скалярного произведения , отсюда - расстояние от точки до прямой

Во втором случае - общий случай

- расстояние от точки до прямой в координатной форме.

- отклонение точки от прямой

Если Δ>0, то и 0 лежат по разные стороны от прямой

Если Δ<0, то по одну сторону от прямой

Вывод.: чтобы найти расстояние от точки до прямой, нужно уравнение привести к нормальному виду и подставить вместо х и у координаты заданной точки.

Пр.: 12х+15у+9=0

Каноническое уравнение прямой.

Параметрическое уравнение прямой.

Дано: прямая l, такая что , , - направляющий вектор прямой l, возьмем произвольную точку M на прямой l и рассмотрим ,так как ,то и коллинеарные, следовательно их коэффициенты пропорциональны.

- каноническое уравнение прямой

- параметрическое уравнение прямой, t – параметр.

Уравнение прямой проходящей через две заданные точки

Дано: прямая l, и Возьмем точку и рассмотрим два вектора и - эти вектора коллинеарны, следовательно коэффициенты пропорциональны

- уравнение прямой проходящей через две заданные точки

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

- угловой коэффициент

-уравнение прямой с угловым коэффициентом

Уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку

Возьмем (1), и т.к. точка , то ее координаты удовлетворяют уравнению прямой: (2), из (2) вычтем (1), получаем: - уравнение прямой, проходящей через заданную точку.

Угол между двумя прямыми

и - угловой коэффициент

так как - внешний угол, то

Условие параллельности двух прямых

=0 -условие параллельности прямых

Условие перпендикулярности двух прямых

- условие перпендикулярности двух прямых

Уравнение пучка прямых

Дано: две пересекающиеся прямые 1:, пусть т. М₀ (x₀, y₀) точка пересечения, тогда (*)

Первое уравнение умножим на , второе – на и сложим:

- это уравнение определяет прямую Покажем, что она проходит через точку М₀ (x₀, y₀):

- см. (*).

Таким образом, - уравнение пучка прямых.

Разделим обе части на :

уравнение пучка прямых -

Уравнение плоскости в пространстве

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и имеющей нормальный вектор

Дано: плоскость Р,

Написать уравнение прямой.

Возьмём точку произвольная точка и рассмотрим вектор

; раскроем скобки

- уравнение плоскости, проходящей через данную точку и имеющей нормальный вектор. Раскроем скобки:

- общее уравнение плоскости

- уравнение плоскости в отрезках

Неполные уравнения плоскости

- дано общее уравнение плоскости;

1. представляет собой плоскость, проходящую через начало координат;

2. - представляет собой плоскость, параллельную оси ОZ, так как вектор

Аналогично, если В=0, то плоскость параллельна ОУ, если А=0, то плоскость параллельна ОХ.

3. - с одной стороны, плоскость параллельна ОХ, так. как А=0, с другой стороны плоскость проходит через начало координат, следовательно, плоскость проходит через ось ОХ;

Аналогично, если B=0, D=0, то плоскость проходить через ось ОУ;

если C=0, D=0, то плоскость проходит через ось ОZ.

4. Если B=0, C=0, то плоскость параллельна как оси ОУ, так оси OZ, следовательно, она параллельна координатной плоскости YOZ;

Аналогично, если A=0,B=0, то параллельна плоскости XOY;

если A=0, C=0, то плоскость параллельна плоскости XOZ.

5. A=0,B=0, D=0, следовательно Z=0 – плоскость XOY;

B=0,C=0, D=0,следовательно X=0 – плоскость YOZ;

A=0, C=0, D=0, следовательно Y=0 – плоскость XOZ.